Many problems nowadays require approximations of high-dimensional integrals, because their analytical solutions cannot be provided. Among others, possible fields of application are Uncertainty Quantification and Machine Learning. Unfortunately high-dimensional problems suffer from the Curse of Dimensionality: Due to the exponential increase of the number of grid points the computation time grows rapidly. This makes calculations infeasible when the number of dimension grows. Possible solutions are Sparse Grids and the Sparse Grid Combination Technique, which are non-adaptive. However, many real-world applications have highly varying characteristics and thus require strategies that adapt to the given problem. A well-known approach is a dimension adaptive variant of the Combination Technique [GG03]. Another approach has been presented in [OB20]: a spatially adaptive variant with dimension-wise refinement. So far there has been little research towards high order methods for the above-mentioned approach. The goal of this thesis is to combine adaptive order methods and spatial adaptivity (with dimension-wise refinement). Therefore we investigate the well-known Romberg-Quadrature and generalize it for the application on adaptive grids. Thereafter, various variants of these theoretical results are incorporated into the sparseSpACE-framework and compared to adaptive as well as non-adaptive implementations of quadrature rules, such as Gauß- Legendre. The numerical results show that our adaptive extrapolation can significantly reduce the total number of distinct function evaluations to achieve a certain approximation tolerance threshold. This leads to shorter runtimes and a lower total number of refinements.     «

Many problems nowadays require approximations of high-dimensional integrals, because their analytical solutions cannot be provided. Among others, possible fields of application are Uncertainty Quantification and Machine Learning. Unfortunately high-dimensional problems suffer from the Curse of Dimensionality: Due to the exponential increase of the number of grid points the computation time grows rapidly. This makes calculations infeasible when the number of dimension grows. Possible solutio...     »

Viele Problemstellungen benötigen heutzutage hochdimensionale Berechnungen. Mögliche Ein- satzgebiete hierfür sind u.a. Maschinelles Lernen oder Uncertainty Quantification. Hierbei kann oft die analytische Lösung nicht bestimmt werden, weswegen eine Approximation von hochdimension- alen Integralen notwendig wird. Dabei tritt allerdings der Fluch der Dimensionalität auf. Mit steigender Dimensions-Anzahl erhöht sich die Anzahl der Gitterpunkte exponentiell, wodurch Berechnungen sehr lange dauern können. Um diesem Effekt entgegenzuwirken wurden Sparse Grids (Dünne Gitter) und die Sparse Grid Kombinationstechnik untersucht. Allerdings weisen Alltagsprobleme oftmals sehr unterschiedliche Charakteristiken auf, welche stark variieren können. Daher benötigt man adaptive Verfahren, die sich an die Charakteristiken des Problems anpassen. Ein bekannter Algorithmus hierfür ist eine dimensionsadaptive Version der Kombinationstechnik [GG03]. Außerdem wurde in [OB20] eine räumlich-adaptive Variante mit Verfeinerung von einzelnen Dimensionen vorgestellt. Bisher gab es wenig Forschung, welche High-Order Methoden mit dem vorherigen Verfahren zur räumlichen Verfeinerung verknüpft. Das Ziel dieser Arbeit ist ein Verfahren, welches Ordnungsadap- tivität und räumliche Adaptivität (mit dimensionsweiser Verfeinerung) vereint. Dazu untersuchen wir die bekannte Romberg-Quadratur und verallgemeinern diese anschließend für adaptive Gitter. Wir implementieren verschiedene Varianten dieser Verallgemeinerung und integrieren diese in das sparseSpACE-Framework. Außerdem führen wir numerische Untersuchungen durch und vergle- ichen unsere Ergebnisse mit sowohl adaptiven als auch nicht-adaptiven Verfahren, wie z.B. einem Gauß-Legendre Gitter. Unsere Ergebnisse zeigen, dass durch adaptive Extrapolation die Gesamtan- zahl eindeutiger Funktionsevaluationen signifikant verringert werden kann, wobei weiterhin eine vergleichbare Approximation des Integralwerts gewährleistet wird. Diese Verbesserung hat, unter anderem, kürzere Laufzeiten und weniger Verfeinerungsschritte zur Folge.     «

Viele Problemstellungen benötigen heutzutage hochdimensionale Berechnungen. Mögliche Ein- satzgebiete hierfür sind u.a. Maschinelles Lernen oder Uncertainty Quantification. Hierbei kann oft die analytische Lösung nicht bestimmt werden, weswegen eine Approximation von hochdimension- alen Integralen notwendig wird. Dabei tritt allerdings der Fluch der Dimensionalität auf. Mit steigender Dimensions-Anzahl erhöht sich die Anzahl der Gitterpunkte exponentiell, wodurch Berechnungen sehr lange dau...     »