We make several novel contributions to aspects of the Bayesian approach to inverse problems: well-posedness, discretisation, and algorithms. The first main contribution of this work is a new concept of well-posedness of Bayesian inverse problems. In contrast to the existing concepts, our slightly simplified concept allows us to make well-posedness statements with respect to general mathematical models. Under e.g. finite-dimensional, non-degenerate Gaussian noise assumptions, we only need to show measurability of the underlying model. Next, we move on to the discretisation of Bayesian inverse problems. We consider hierarchical Bayesian inverse problems in which the prior random field is parameterised. Typically, random fields are discretised by truncated spectral expansions, such as the Karhunen–Loève expansion. Such discretisation strategies may adhoc be not suitable in hierarchical settings, since the parameterisation may require a large number of random field discretisations. This is computationally infeasible. The second main contribution of this thesis is a reduced basis method allowing for a computationally cheap, parameterised discretisation. The solution of a Bayesian inverse problem is the posterior distribution. Sampling from the posterior distribution, with e.g. Markov chain Monte Carlo (MCMC) or Importance Sampling, may be unsuitable if the Bayesian inverse problems are constrained by a computationally tasking mathematical model, e.g. by a partial differential equation (PDE). More suitable are Sequential Monte Carlo strategies that use hierarchies of model discretisations and tempered likelihoods. An adaptive combination of these hierarchies leads to the third main contribution of this work: the highly efficient Multilevel Sequential² Monte Carlo algorithm. We derive this method and compare it numerically with standard Sequential Monte Carlo methods. Moreover, we interpret Sequential Monte Carlo in a framework where it is a Markov chain of random measures. In this setting, we discuss the long-time behaviour of these Markov chains and, thus, the convergence of Sequential Monte Carlo. This is the fourth main contribution of this work. We conclude by pointing the reader to directions for future research.     «

We make several novel contributions to aspects of the Bayesian approach to inverse problems: well-posedness, discretisation, and algorithms. The first main contribution of this work is a new concept of well-posedness of Bayesian inverse problems. In contrast to the existing concepts, our slightly simplified concept allows us to make well-posedness statements with respect to general mathematical models. Under e.g. finite-dimensional, non-degenerate Gaussian noise assumptions, we only need to show...     »

In dieser Arbeit untersuchen wir Aspekte der Bayes’schen Inversion: Wohlgestelltheit, Diskretisierung und Algorithmen. Der erste Forschungsbeitrag dieser Arbeit ist die Einführung eines neuen Wohlgestelltheitsbegriffs Bayes’scher inverser Probleme. Dieses leicht abgeschwächte Konzept erlaubt uns die Wohlgestelltheit Bayes’scher inverser Probleme mit sehr allgemeinen Modellen zu zeigen. Bei endlich-dimensionalem, nicht-degenerierten Gauß’schem Fehler reicht zum Beispiel schon die Messbarkeit des Modells. Dann untersuchen wir die Diskretisierung Bayes’scher inverser Probleme. Genauer betrachten wir hierarchische Bayes’sche inverse Probleme, in denen das A-priori-Zufallsfeld parametrisiert ist. Standardmethoden, wie Spektralentwicklungen des Kovarianzoperators, können hier oft nicht verwendet werden, da mehrere Zufallsfelddiskretisierungen notwendig sind und diese eine übermäßig hohe Rechenzeit in Anspruch nehmen würden. Wir lösen dieses Problem mit einer Reduzierte-Basis-Methode für die schnelle Diskretisierung von parametrisierten Zufallsfeldern. Die Reduzierte-Basis-Methode in diesem Setup ist der zweite Forschungsbeitrag dieser Arbeit. Die Lösung eines Bayes’schen inversen Problems ist die A-posteriori-Verteilung eines unsicheren Parameters oder Prozesses. Das Generieren von Zufallsvariablen bezüglich dieser Verteilung mit Markov Chain Monte Carlo (MCMC) oder Importance Sampling benötigt ebenfalls eine übermäßig hohe Rechenzeit, wenn das zugrundeliegende Modell einen hohen Rechenaufwand verursacht; also zum Beispiel eine partielle Differentialgleichung ist. Effizienter sind hier Sequentielle Monte-Carlo- Methoden, die auf Hierarchien von Modelldiskretisierungen und temperierten Likelihoods aufbauen. Der dritte Forschungsbeitrag dieser Arbeit ist eine adaptive Strategie, welche diese Hierarchien kombiniert: die Multilevel-Sequential²-Monte-Carlo-Methode. Wir leiten diesen Algorithmus her und vergleichen ihn in Experimenten mit anderen Sequentiellen Monte-Carlo-Verfahren. Wir interpretieren die Sequentielle Monte-Carlo-Methode als Markov-Kette zufälliger Maße. Der vierte Forschungsbeitrag dieser Arbeit ist eine Diskussion des asymptotischen Verhalten dieser Markov-Ketten und der Konvergenz der Sequential-Monte-Carlo-Methode. Wir beschließen die Arbeit mit einem Ausblick auf zukünftige Forschungsthemen.     «

In dieser Arbeit untersuchen wir Aspekte der Bayes’schen Inversion: Wohlgestelltheit, Diskretisierung und Algorithmen. Der erste Forschungsbeitrag dieser Arbeit ist die Einführung eines neuen Wohlgestelltheitsbegriffs Bayes’scher inverser Probleme. Dieses leicht abgeschwächte Konzept erlaubt uns die Wohlgestelltheit Bayes’scher inverser Probleme mit sehr allgemeinen Modellen zu zeigen. Bei endlich-dimensionalem, nicht-degenerierten Gauß’schem Fehler reicht zum Beispiel schon die Messbarkeit des...     »