Kern der Untersuchungen bildet der Nachweis, daß für elliptische Systeme von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine Familie von lokalen Niedrigrangoperatoren existiert, die exponentiell gegen den inversen Differentialoperator konvergiert. Diese Niedrigrangoperatoren werden verwendet, um hierarchische Matrizen (H-Matrizen) zu konstruieren, die u.a. die inverse Steifigkeitsmatrix approximieren, und um den Approximationsfehler abzuschätzen. Zur Vorbereitung des Beweises werden die erforderlichen Begriffe und Werkzeuge bereitgestellt und erläutert. Der Beweis verwendet nur die schwache Lösung der Differentialgleichung, nicht jedoch die Greensche Funktion. Der Vorteil der H-Matrizen liegt in der problemlosen Handhabung springender Koeffizienten. Den Abschluß der Arbeit bilden numerische Tests, die die theoretischen Aussagen unterstreichen. Dabei wird die Lame-Gleichung als Beispiel für ein elliptisches System mittels linearer finiter Elemente diskretisiert und die resultierenden linearen Gleichungssysteme mittels der H-Arithmetik gelöst.     «

Kern der Untersuchungen bildet der Nachweis, daß für elliptische Systeme von partiellen Differentialgleichungen zweiter Ordnung eine Familie von lokalen Niedrigrangoperatoren existiert, die exponentiell gegen den inversen Differentialoperator konvergiert. Diese Niedrigrangoperatoren werden verwendet, um hierarchische Matrizen (H-Matrizen) zu konstruieren, die u.a. die inverse Steifigkeitsmatrix approximieren, und um den Approximationsfehler abzuschätzen. Zur Vorbereitung des Beweises werden die...     »

The main focus of this work is to prove the existence of a familiy of local low rank operators, which in case of elliptic systems of partial differential equations of second order converges to the inverse differential operator. These low rank operators will be used to construct hierarchical matrices (H-matrices) which approximate the inverse of a given matrix (e.g. the stiffness matrix), and to estimate the approximation error. In the setup to the proof we define and discuss the necessary terms and tools. The proof uses only the weak solution of the differential equation, but not it’s Green’s function. The advantage of H-matrices is the trouble-free handling of jumping coefficients. Finally, we close the work with numerical tests verifying the theoretical results. As an example to elliptic systems we take the Lame equation, discretize it with finite elements, and solve the resulting linear systems of equations using the arithmetics of H-matrices.     «

The main focus of this work is to prove the existence of a familiy of local low rank operators, which in case of elliptic systems of partial differential equations of second order converges to the inverse differential operator. These low rank operators will be used to construct hierarchical matrices (H-matrices) which approximate the inverse of a given matrix (e.g. the stiffness matrix), and to estimate the approximation error. In the setup to the proof we define and discuss the necessary terms...     »