In many fields of application, the grid-based numerical simulation of partial differential equations leads to new scientific insights due to increasing computing resources, increasing amounts of data, and increased efficiency of the algorithms used. All three of them facilitate more detailed models and more reliable simulations. Yet, a growing code complexity accompanies this progress. To tackle this complexity, more and more solvers for partial differential equations rely on frameworks. State-of-the-art frameworks have to support multiscale algorithms for arbitrarily dimensional problems with dynamic, i.e. changing, discretisations. Despite this flexibility of data and data access, the realisation has to have low memory requirements, as the gap between computing power and memory bandwidth and access speed broadens. It furthermore has to exploit modern computer architectures and has to scale on parallel computers, even if the data structures and the data access pattern change permanently. This thesis presents a framework tackling these challenges with adaptive Cartesian grids resulting from a generalised octree concept. They are traversed with space-filling curves and a small yet fixed number of stacks acting as data containers. Within this context, dynamically changing multiscale grids of arbitrary dimension can be stored with a few bits per datum, whereas classical approaches often require several kilobytes and more flexible data structures entailing a big runtime overhead. The thesis formalises the approach and reduces the implementation complexity---the algorithmic principle itself has been well-known for several years---from an exponential to a linear number of containers in the spatial dimension of the problem. A modification of the grid traversal originally following a depth-first order then facilitates a domain decomposition strategy with dynamic load-balancing. The framework is named after the Italian mathematician Giuseppe Peano who discovered the underlying space-filling curve. Its potential is demonstrated via a geometric multigrid solver for the Poisson equation with low memory requirements, good cache hit rates, dynamic adaptive grids and a dynamic load balancing---a combination of characteristics rarely found. As they result from the framework usage, the thesis paves the way to a multiscale computational fluid dynamics application on instationary, hierarchical grids.     «

In many fields of application, the grid-based numerical simulation of partial differential equations leads to new scientific insights due to increasing computing resources, increasing amounts of data, and increased efficiency of the algorithms used. All three of them facilitate more detailed models and more reliable simulations. Yet, a growing code complexity accompanies this progress. To tackle this complexity, more and more solvers for partial differential equations rely on frameworks. St...     »

Mit steigender Rechenleistung, steigendem Datenumfang und Datendetailfülle sowie steigender Algorithmeneffizienz liefert die Simulation partieller Differentialgleichungen neue wissenschaftliche Erkenntnisse in vielen Anwendungsbereichen. Dabei sei hier die numerische Simulation auf räumlichen Diskretisierungen thematisiert. Alle drei Einflussfaktoren stoßen die Tür zu immer detaillierteren Modellen und immer verlässlicheren Simulationen auf, jedoch begleitet eine beständig wachsende Quelltextkomplexität eben diesen Fortschritt. Um genau diese Komplexität in den Griff zu bekommen, greifen mehr und mehr Umsetzungen von Lösern zu partiellen Differentialgleichungen auf Frameworks, also vorgefertigte Quelltextumgebungen respektive -ökosysteme, zurück. Kompetitive, zeitgemäße Frameworks müssen heute Multiskalenalgorithmik für beliebig dimensionale Probleme mit sich ständig dynamisch ändernden räumlichen Diskretisierungen unterstützen. Trotz der geforderten Flexibilität in Daten und Datenzugriff sollte die Realisierung jedoch geringe Speicheranforderungen aufweisen, da sich zwischen vorhandener Rechenleistung und Speicherbandbreite zunehmend Kluft auftut und sich beständig weitet. Darüber hinaus muss sie moderne Rechnerarchitekturen sinnvoll, also öknomisch und effizient, nutzen und sollte auch dann auf Parallelrechnern skalieren, wenn sich Datenstrukturen und Datenzugriffsmuster permanent ändern. Diese Arbeit präsentiert eine Umgebung, die die angesprochenen Herausforderungen mit adaptiven kartesischen Gittern angeht. Diese entstammen einem verallgemeinerten Oktalbaumkonzept und werden mit raumfüllenden Kurven durchlaufen, wobei eine kleine, jedoch festgeschriebene Zahl an Stapeln als Daten-Container fungiert. In solch einer Umgebung lassen sich sich dynamisch ändernde Gitter mit wenigen Bits pro Datum ablegen. Klassische Ansätze veranschlagen hierzu oftmals mehrere tausend Bytes und verlangen nach alternativen flexiblen Datenstrukturen, die einen großen Laufzeit-Overhead nach sich ziehen. Die Arbeit formalisiert zum Einen den neuen Ansatz, zum Anderen reduziert sie die Implementierungskomplexität - das algorithmische Prinzip ist seit einigen Jahren wohlbekannt - von einem exponentiellen auf ein lineares Wachstum in der Raumdimension des Problems. Eine Modifikation des Traversierungsprinzips, das originär einer einfachen Tiefensuche nacheifert, erlaubt schlussendlich, eine Rechengebietszerlegungsstrategie mit einem dynamischen Lastausgleich umzusetzen. Das Framework ist nach dem italienischen Mathematiker Giuseppe Peano benannt, der die zugrundeliegende raumfüllende Kurve entdeckt hat. Der Implementierung Potential wird anhand eines geometrischen Mehrgitterlösers für die Poisson-Gleichung dargelegt. Dieser weist in Folge dann einen sehr geringen Speicherbedarf in Begleitung sehr guter Cache-Trefferraten auf, wobei auch dynamische Gitterverfeinerung und Lastbalancierung zur Anwendung kommen. Eine Kombination all dieser Charakteristiken ist üblicherweise schwer zu finden. Da sie direkt auf die Benutzung des Frameworks zurückzuführen ist, besteht die berechtigte Hoffnung, dass das selbige den Weg zu einer multiskalen Strömungsdynamikanwendung auf instationären, hierarchischen Gittern ebnet.     «

Mit steigender Rechenleistung, steigendem Datenumfang und Datendetailfülle sowie steigender Algorithmeneffizienz liefert die Simulation partieller Differentialgleichungen neue wissenschaftliche Erkenntnisse in vielen Anwendungsbereichen. Dabei sei hier die numerische Simulation auf räumlichen Diskretisierungen thematisiert. Alle drei Einflussfaktoren stoßen die Tür zu immer detaillierteren Modellen und immer verlässlicheren Simulationen auf, jedoch begleitet eine beständig wachsende Quelltextk...     »