Topics in PDE-Constrained Optimization under Uncertainty and Uncertainty Quantification
Translated title:
Aspekte der Optimierung von partiellen Differentialgleichungen unter Unsicherheit und Unsicherheitsquantifizierung
Author:
Milz, Johannes
Year:
2021
Document type:
Dissertation
Faculty/School:
Fakultät für Mathematik
Advisor:
Ulbrich, Michael (Prof. Dr.)
Referee:
Ulbrich, Michael (Prof. Dr.); Kunisch, Karl (Prof. Dr.); Shapiro, Alexander (Prof. Dr.)
Language:
en
Subject group:
MAT Mathematik
TUM classification:
MAT 490
Abstract:
We develop an efficient sampling-free approximation scheme for moment-based distributionally robust nonlinear optimization problems. Our approach utilizes a smoothing method that allows the use of gradient-based optimization methods. We apply our scheme to finite-dimensional optimization problems and to optimal control problems with nonlinear partial differential equations. Furthermore, we apply the sample average approximation method to convex risk-neutral optimal control problems posed in Hilbert spaces and derive non-asymptotic error bounds, including exponential tail bounds, for their optimal controls and optimal values. Finally, we establish large deviations for the multilevel Monte Carlo mean estimator.
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We develop an efficient sampling-free approximation scheme for moment-based distributionally robust nonlinear optimization problems. Our approach utilizes a smoothing method that allows the use of gradient-based optimization methods. We apply our scheme to finite-dimensional optimization problems and to optimal control problems with nonlinear partial differential equations. Furthermore, we apply the sample average approximation method to convex risk-neutral optimal control problems posed in Hilb...
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Translated abstract:
Der Großteil der Arbeit befasst sich mit der Analyse und numerischen Umsetzung eines effizienten Ansatzes zur Approximation von momentenbasierten verteilungsrobusten nichtlinearen Optimierungsproblemen. Wir behandeln sowohl endlich-dimensionale Probleme als auch Steuerungsprobleme, die sich durch nichtlineare partiellen Differentialgleichungen ergeben. Desweiteren approximieren wir konvexe risikoneutrale Optimalsteuerungsprobleme, die in Hilberträumen gestellt sind, mittels empirischer Mittelwerte und leiten nicht-asymptotische Fehlerabschätzungen für optimale Steuerungen und Optimalwerte her. Im letzten Kapitel leiten wir große Abweichungen für Multilevel-Monte-Carlo-Schätzer her.
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Der Großteil der Arbeit befasst sich mit der Analyse und numerischen Umsetzung eines effizienten Ansatzes zur Approximation von momentenbasierten verteilungsrobusten nichtlinearen Optimierungsproblemen. Wir behandeln sowohl endlich-dimensionale Probleme als auch Steuerungsprobleme, die sich durch nichtlineare partiellen Differentialgleichungen ergeben. Desweiteren approximieren wir konvexe risikoneutrale Optimalsteuerungsprobleme, die in Hilberträumen gestellt sind, mittels empirischer Mittelwer...
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