Wavelets analysis is one of the rapidly developing areas in the mathematical sciences. The main aim of the wavelet theory is to find nice ways to break down a given function into elementary building blocks. In this thesis, the discrete and continuous wavelet analysis on the Heisenberg group is motivated and developed. The main contributions of the thesis are the following: 1) With using the discrete wavelet theory we extend the definition of Shannon multiresolution analysis from one dimensional Euclidean space R to the non-abelian locally compact Heisenberg group H. Then we provide an appropriate bandlimited function on the Heisenberg group as scaling function, which leads us to the construction of a function, so-called wavelet. We prove that the translations and dilations of wavelet function in some respects constitutes a normalized tight frame for space L^2(H). 2) The next principal purpose of our work is entrance to the construction of generalized continuous wavelet transform (CWT) associated with admissible vectors. In this thesis, the existence of admissible vectors are investigated in the framework of Schwartz radial functions. Therefor, by using the Fourier transform, first we are intended to provide a sufficient and necessary condition under which a radial function is Schwartz. Next, we shall show when a radial function is admissible. 3) We conclude this thesis with providing a concrete example of admissible Schwartz radial function on the Heisenberg group, which is known as heat kernel.     «

Wavelets analysis is one of the rapidly developing areas in the mathematical sciences. The main aim of the wavelet theory is to find nice ways to break down a given function into elementary building blocks. In this thesis, the discrete and continuous wavelet analysis on the Heisenberg group is motivated and developed. The main contributions of the thesis are the following: 1) With using the discrete wavelet theory we extend the definition of Shannon multiresolution analysis from one dimensional...     »

Das Hauptziel der verallgemeinerten Wavelettheorie ist es, Methoden zur Konstruktion elementarer Bausteine für Funktionenräume zu finden. Dabei soll insbesondere die stabile Rekonstruktion von Funktionen aus ihren Entwicklungskoeffizienten ermöglicht werden. Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion diskreter und kontinuierlicher Waveletsysteme auf der Heisenberggruppe. Diese Systeme werden aus einer einzigen Funktion durch Dilatation und (Links-)translation erzeugt, analog zur Konstruktion von Wavelets auf den reellen Zahlen. Besonderes Interesse gilt Wavelets mit guten Lokalisierungseigenschaften. Die Existenz kontinuierlicher Waveletsysteme war bereits bekannt. Da die Situation auf der Heisenberggruppe darstellungstheoretisch wesentlich komplizierter ist, gab es bisher aber keine konkreten Beispiele. Die Hauptresultate der Arbeit sind die folgenden: 1) Konstruktion einer Shannon-Multiskalenanalyse auf der Heisenberggruppe. Konstruktion eines zugehörigen diskreten Waveletsystems, das einen normalisierten straffen Frame von L^2(H) liefert. 2) Charakterisierung der zulässigen Vektoren unter den radialen Funktionen auf H. Existenz einer zulässigen radialen Schwartzfunktion. 3) Ein konkretes Beispiel einer zulässigen radialen Schwartzfunktion: Das Mexican Hat Wavelet auf der Heisenberggruppe.     «

Das Hauptziel der verallgemeinerten Wavelettheorie ist es, Methoden zur Konstruktion elementarer Bausteine für Funktionenräume zu finden. Dabei soll insbesondere die stabile Rekonstruktion von Funktionen aus ihren Entwicklungskoeffizienten ermöglicht werden. Ziel dieser Arbeit ist die Konstruktion diskreter und kontinuierlicher Waveletsysteme auf der Heisenberggruppe. Diese Systeme werden aus einer einzigen Funktion durch Dilatation und (Links-)translation erzeugt, analog zur Konstruktion von Wa...     »