COGARCH; extreme value theory; MA process; marked point process; OU process; point process; regular variation; subexponential distribution; shot noise process; stochastic volatility model
Empirische Volatilität ist nicht konstant in der Zeit und weist Tails auf, die schwerer sind als normalverteilt. Des Weiteren sieht man oft Sprünge und Clusterverhalten. In dieser Arbeit wird das Extremwertverhalten verschiedener Volatilitätsmodelle untersucht: Subexponentielle Lévy getriebene MA Prozesse im Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung, regulär variierende gemischte MA Prozesse, Ornstein-Uhlenbeck Prozesse mit exponentiellem Tail und COGARCH Prozesse. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Untersuchung von subexponentiellen Lévy getriebenen MA Prozessen
$Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-s)\,dL(s)$ für $t\in \R$,
wobei f eine deterministische Funktion und L ein Lévy Prozess ist. In Kapitel 1 beschäftigen wir uns mit dem extremalen Verhalten im Maximum-Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung und in Kapitel 2 im Anziehungsbereich der Fréchet-Verteilung. Das Verhalten in den beiden Anziehungsbereichen ist sehr unterschiedlich. Für beide Klassen werden hinreichende Bedingungen an die Kernfunktion f gegeben, so dass eine stationäre Version des MA Prozesses Y existiert. Wir berechnen das Tailverhalten der stationären Verteilung. Es stellt sich heraus, dass die stationäre Verteilung auch wieder subexponentiell ist und sogar im gleichen Anziehungsbereich wie der treibende Lévy Prozess L liegt. Somit modellieren sie schwere Tails und Volatilitätssprünge. Die Analyse des extremalen Verhaltens basiert auf einem zeit-diskreten Gitter, das bei den Sprungzeitpunkten des Lévy Prozesses L und den Extrema der Kernfunktion f geeignet gewählt wird. Nachdem die diskrete Folge mit Marken versehen worden ist, wird das Grenzwertverhalten des daraus entstehenden Punktprozesses berechnet. Dieser liefert vollständige Information über das extremale Verhalten. Unter Anderem ergibt sich daraus die Konvergenz der normalisierten, wachsenden Maxima. Beide Modelle weisen Volatilitätscluster auf. Regulär variierende MA Prozesse verweilen lange über einer hohen Schwelle, im Gegensatz dazu haben MA Prozesse im Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung nur in einzelnen Punkten Exzesse. Desweiteren betrachten wir in Kapitel 3 das Extremwertverhalten von Ornstein-Uhlenbeck Prozessen mit exponentiell fallendem Tail. Es ist ähnlich zum subexponentiellem MA Prozess im Anziehungsbereich der Gumbel-Verteilung. Sie haben schwere Tails aber keine Volatilitätscluster. Als letzte Klasse an Volatilitätsmodellen wird der COGARCH Prozess untersucht. Getrieben von einen compound Poisson Prozess weist er auch regulär variierende Tails, Volatilitätssprünge und Cluster in den Extrema auf.
Übersetzte Kurzfassung:
Empirical volatility changes in time and exhibits tails, which are heavier than those of normal distributions. Moreover, empirical volatility has - sometimes quite substantial - upwards jumps and clusters on high levels. We investigate classical and non-classical stochastic volatility models with respect to their extreme behavior: subexponential Lévy driven MA processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution, regularly varying mixed MA processes, Ornstein-Uhlenbeck processes with exponentially decreasing tails and COGARCH processes. The basic volatility models of this thesis are subexponential Lévy driven MA processes
$Y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t-s)\,dL(s)$ for $t\in \R$
where f is a deterministic function and L is a Lévy process. In Chapter 1 we study the extremal behavior of subexponential MA processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution and in Chapter 2 of the Fréchet distribution. The behavior is quite different in these different regimes. For both classes we give sufficient conditions for the kernel function f, such that a stationary version of the MA process Y exists, which preserves the infinitely divisibility of L. We calculate the tail behavior of the stationary distribution, which is again subexponential and in the same maximum domain of attraction as the driving Lévy process L. Hence they capture heavy tails and volatility jumps. Our investigation on the extremal behavior of Y is based on a discrete-time skeleton of Y chosen to incorporate those times, where large jumps of the Lévy process L and extremes of the kernel function f occur. Adding marks to this discrete-time skeleton, we obtain, by the weak limit of marked point processes, complete information about the extremal behavior. A complementary result guarantees the convergence of running maxima. Both models have volatility clusters. Regularly varying MA processes have long high level excursion in contrast to subexponential MA processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution, where they collapse into single points. Furthermore, in Chapter 3 we investigate the extremal behavior of Ornstein-Uhlenbeck processes with exponential tails. This is similar to subexponential Ornstein-Uhlenbeck processes in the maximum domain of attraction of the Gumbel distribution. They are heavy tailed, but do not exhibit volatility clusters. As the last class of continuous-time volatility models, we study a continuous-time GARCH(1,1) model. Driven by a compound Poisson process it exhibits regularly varying tails, volatility upwards jumps and clusters on high levels.
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