In this work, the problem of time reversal in a heterogeneous medium is considered as the inverse problem of determining the solution of a wave equation with spatially varying coefficients from lateral Cauchy data. This problem occurs in several applications in the area of medical imaging and non-destructive testing, for example in thermoacoustic tomography.
Using the method of quasi-reversibility, the original ill-posed problem is replaced with a boundary value problem for a fourth order partial differential equation. We find a weak H2 solution of this problem and show that it is a well-posed elliptic problem. Error estimates and convergence of the approximation follow from exact observability estimates for the wave equation, which are proven using a Carleman estimate. We derive a numerical scheme for the solution of the quasi-reversibility problem by a B-spline Galerkin method, for which we give error estimates. Finally, we present numerical results supporting the robustness of this method for the reconstruction of the wave field from lateral Cauchy data, where we also consider the case of data given only on a part of the boundary.
Übersetzte Kurzfassung:
In dieser Arbeit wird das Problem betrachtet, aus transienten Messungen des Schalldrucks am Rand eines beschränkten Gebiets das Schallfeld im Inneren dieses Gebiets zu einer früheren Zeit zu bestimmen. Dieses Problem, welches in der Physik als Zeitumkehrproblem bezeichnet wird, tritt zum Beispiel in der medizinischen Bildgebungstechnik der thermoakustischen Tomographie auf, die auch als Motivation für die Arbeit vorgestellt wird. Eine zentrale Bedeutung hat dabei die Berücksichtigung einer räumlich variierenden Schallgeschwindigkeit, welches auch eine wesentliche Neuerung darstellt.
Das mathematische Modell ist ein schlecht gestelltes laterales Cauchy-Problem für die Wellengleichung, für das eine stabile Approximation hergeleitet wird, die auf der Methode der Quasi-Reversibilität beruht. Für diese Approximation werden Existenz, Eindeutigkeit und Regularität der Lösung bewiesen.
Die Konvergenz der Approximationslösungen gegen die Lösung des ursprünglichen Problems, auch bei gestörten Randdaten und Messungen nur an einem Teilrand, wird mit Hilfe einer Beobachtbarkeitsungleichung für die Wellengleichung gezeigt. Zentrales Hilfsmittel ist eine Carleman-Abschätzung für hyperbolische Differentialoperatoren zweiter Ordnung.
Für die numerische Lösung der approximierenden Probleme wird ein
B-Spline-Galerkin-Verfahren hergeleitet. Die Effektivität und
Robustheit des Verfahrens, auch für den Fall von nur auf einem Teilrand gegebener Daten, wird schliesslich anhand numerischer Tests
belegt.
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