Graphical continuous Lyapunov models present a novel approach to statistically model correlated multivariate data. In this setting, every observation is treated as a one-time cross-sectional snapshot of the multivariate Ornstein-Uhlenbeck process in equilibrium. The preceding process has a unique covariance matrix obtained as a solution to the continuous Lyapunov equation specified by a stable drift matrix. The sparsity pattern of the drift matrix is related to the support of an undirected graph. We propose the group lasso as a regularization approach to model selection, i.e., we find a sparse approximate solution to the continuous Lyapunov equation for a given covariance matrix. Moreover, we derive sufficient conditions for consistent correct recovery by introducing the notion of dual norms and adapting the primal-dual witness method for the group lasso. One of the key assumptions will be a group irrepresentability condition, which we will further investigate. In the second part of the thesis, we review several algebraic questions related to graphical continuous Lyapunov models. We start by providing a theory for the identifiability problem. In addition, we study covariance equivalence for undirected graphs, where we derive that low-dimensional trees will always induce different statistical models. Lastly, we conduct a series of numerical experiments comparing the performance of the lasso and group lasso for both directed and undirected structure recovery.      «

Graphical continuous Lyapunov models present a novel approach to statistically model correlated multivariate data. In this setting, every observation is treated as a one-time cross-sectional snapshot of the multivariate Ornstein-Uhlenbeck process in equilibrium. The preceding process has a unique covariance matrix obtained as a solution to the continuous Lyapunov equation specified by a stable drift matrix. The sparsity pattern of the drift matrix is related to the support of an undirected grap...     »

Graphische Lyapunov Modelle sind ein neuartiger Ansatz, um korrelierte multivariate Daten statistisch zu modellieren. Dabei nehmen wir an, dass jede Stichprobe eine Momentaufnahme des multivariaten Ornstein-Uhlenbeck Prozess im Gleichgewicht ist. Letzterer besitzt eine eindeutige Kovarianzmatrix, falls diese eine Lösung der stetigen Lyapunov Gleichung ist, welche von einer stabilen Driftmatrix parametrisiert wird. Jede dünnbesetzte Driftmatrix bestimmt die Adjazenz eines ungerichteten Graphen. Wir verwenden das group lasso, um eine dünnbesetzte ungefähre Lösung für die stetige Lyapunov Gleichung zu bestimmen für eine gegebene Kovarianzmatrix. Darüber hinaus ermitteln wir hinreichende Bedingungen um die Adjazenz eines Graphen korrekt zu bestimmen zu können. Dazu führen wir sogenannte duale Normen ein und adaptieren die primal-dual witness technique für das group lasso. Eine der hinreichenden Bedingungen, die wir aufzeigen, ist eine sogenannte group irrepresentability condition, welche wir genauer untersuchen. Im zweiten Teil dieser Arbeit widmen wir uns algebraischen Fragestellungen bezüglich graphischen Lyapunov Modellen. Wir untersuchen dabei die identifiability und Kovarianzäquivalenz. Für letztere beweisen wir, dass Bäume in niedrigen Dimensionen immer unterschiedliche statistische Modelle induzieren. Im letzten Teil führen wir eine Reihe von numerischen Experimenten durch, um die Performance von dem lasso und group lasso für gerichtete und ungerichtete Graphenschätzung zu vergleichen.      «

Graphische Lyapunov Modelle sind ein neuartiger Ansatz, um korrelierte multivariate Daten statistisch zu modellieren. Dabei nehmen wir an, dass jede Stichprobe eine Momentaufnahme des multivariaten Ornstein-Uhlenbeck Prozess im Gleichgewicht ist. Letzterer besitzt eine eindeutige Kovarianzmatrix, falls diese eine Lösung der stetigen Lyapunov Gleichung ist, welche von einer stabilen Driftmatrix parametrisiert wird. Jede dünnbesetzte Driftmatrix bestimmt die Adjazenz eines ungerichteten Graphen....     »