Statistical hypotheses are often formulated in terms of polynomial constraints in the unknown parameters. Hence the hypotheses correspond to semi-algebraic subsets of the parameter space. However, testing such hypotheses can be challenging. For example, the number of constraints can be substantially larger than the number of observed samples or the standard approximation results may be invalid due to singularities of the individual polynomials. This motivates us to study an algebraic testing methodology that circumvents these difficulties. Precisely, we form a test statistic as the maximum of unbiased estimators of the involved polynomials. The distribution of the test statistic can be approximated by applying recent results on Gaussian approximation for maxima of sums of high-dimensional random vectors. We determine critical values based on Gaussian multiplier bootstrap procedures and show that the resulting tests are asymptotically valid in the sense that they control type 1 errors. Under a sub-Weibull condition on the entailed estimators, this holds in a high-dimensional setup where the number of constraints is much larger than the sample size. Although our test sacrifices some statistical estimation efficiency, we emphasize that it provides a solution towards the challenges described above. Furthermore, there is no need to maximize a possibly multimodal likelihood function as in the widely used likelihood-ratio test. As a practical application we consider the problem of testing the goodness-of-fit of a given Gaussian latent tree model to observed data. Summarizing recent results, we show that the parameter space of Gaussian latent tree models is characterized by polynomial constraints in the unknown covariance matrix. Hence it is natural to apply our testing methodology. We implement the tests in R in a way that supports testing the goodness-of-fit of every Gaussian latent tree model where the observed variables are restricted to be leaves of the tree. Based on simulations incorporating two specific Gaussian latent tree models, the star tree and the caterpillar tree, we illustrate the advantages and the validity of our approach.      «

Statistical hypotheses are often formulated in terms of polynomial constraints in the unknown parameters. Hence the hypotheses correspond to semi-algebraic subsets of the parameter space. However, testing such hypotheses can be challenging. For example, the number of constraints can be substantially larger than the number of observed samples or the standard approximation results may be invalid due to singularities of the individual polynomials. This motivates us to study an algebraic testing me...     »

Statistische Hypothesen werden oft in Form von polynomialen Bedingungen in den unbekannten Parametern formuliert. Daher entsprechen die Hypothesen semi-algebraischen Teilmengen des Parameterraums. Allerdings kann das Testen solcher Hypothesen eine Herausforderung sein. Zum Beispiel kann die Anzahl der Bedingungen wesentlich größer sein als die Anzahl der beobachteten Stichproben oder die herkömmlichen Approximationsresultate können aufgrund von Singularitäten der einzelnen Polynome ungültig sein. Das motiviert uns eine algebraische Testmethodik zu untersuchen, die diese Schwierigkeiten umgeht. Genauer gesagt bilden wir eine Teststatistik als das Maximum von unverzerrten Schätzungen der involvierten Polynome. Die Verteilung der Teststatistik kann durch Anwendung neuer Resultate hinsichtlich der Gaußschen Approximation für Maxima von Summen hochdimensionaler Zufallsvektoren angenähert werden. Wir bestimmen kritische Werte basierend auf Gaußschen Multiplikator Bootstrap Verfahren und zeigen, dass die resultierenden Tests asymptotisch gültig sind in dem Sinne, dass sie Fehler vom Typ 1 kontrollieren. Unter der Voraussetzung, dass die Schätzer Sub-Weibull Zufallsvariablen sind, gilt dies in einem hochdimensionalen Setup, in dem die Anzahl der polynomialen Bedingungen viel größer ist als der Stichprobenumfang. Ob-wohl unser Test Abstriche bei der statistischen Effizienz macht, heben wir hervor, dass er eine Lösung für die oben beschriebenen Herausforderungen bietet. Darüber hinaus besteht keine Notwendigkeit eine möglicherweise multimodale Likelihood-Funktion zu maximieren, wie beim weit verbreiteten Likelihood-Quotienten-Test. Als praktische Anwendung betrachten wir das Problem des Testens der Anpassungsgüte eines gegebenen latenten Gaußschen Baummodells an beobachtete Daten. Indem wir aktuelle Resultate zusammenfassen, zeigen wir, dass der Parameterraum von latenten Gaußschen Baummodellen durch polynomiale Bedingungen in den Einträgen der unbekannten Kovarianzmatrix charakterisiert ist. Daher ist es natürlich unsere Testmethodik anzuwenden. Wir implementieren die Tests in R auf eine Weise, die das Testen der Anpassungsgüte jedes latenten Gaußschen Baummodells unterstützt solange die beobachteten Variablen genau die Blätter des Baums sind. Anhand von Simulationen mit zwei spezifischen latenten Gaußschen Baummodellen, dem „star tree“ und dem „caterpillar tree“, veranschaulichen wir die Vorteile und die Gültigkeit unseres Ansatzes.      «

Statistische Hypothesen werden oft in Form von polynomialen Bedingungen in den unbekannten Parametern formuliert. Daher entsprechen die Hypothesen semi-algebraischen Teilmengen des Parameterraums. Allerdings kann das Testen solcher Hypothesen eine Herausforderung sein. Zum Beispiel kann die Anzahl der Bedingungen wesentlich größer sein als die Anzahl der beobachteten Stichproben oder die herkömmlichen Approximationsresultate können aufgrund von Singularitäten der einzelnen Polynome ungültig sein...     »