In this work numerical methods for the treatment of random ordinary differential equations are presented. The focus is on approaches, which are based on the generalized Wiener expansions. Especially the stochastic Galerkin method in connection with the multi-element approach by Wan and Karniadakis is discussed. By the application of this method, the random ordinary differential equation becomes a system of deterministic ordinary differential equations for the coefficients of the generalized Wiener expansion of the solution. The resulting system can be solved by Runge-Kutta methods. The convergence and stability properties of this method are discussed. Based on the theoretical results, an algorithm for the solution of random ordinary differential equations is presented. It incorporates a new error estimator, which combines the known error estimator for the time integration with the adaptive choice of elements in the parameter space of the uncertain data. Numerical results to validate the algorithm close the thesis.    «

In this work numerical methods for the treatment of random ordinary differential equations are presented. The focus is on approaches, which are based on the generalized Wiener expansions. Especially the stochastic Galerkin method in connection with the multi-element approach by Wan and Karniadakis is discussed. By the application of this method, the random ordinary differential equation becomes a system of deterministic ordinary differential equations for the coefficients of the generalized Wien...    »

In der vorliegenden Arbeit wird die numerische Lösung von zufallsabhängigen gewöhnlichen Differentialgleichungen untersucht. Es werden Methoden basierend auf verallgemeinerten Wiener-Entwicklungen vorgestellt. Eine dieser Methoden ist das stochastische Galerkin-Verfahren in Zusammenhang mit dem Multi-Element-Ansatz von Wan und Karniadakis. Sie überführt die zufallsabhängige Differentialgleichung in ein System von deterministischen Differentialgleichungen für die Koeffizienten der verallgemeinerten Wiener-Entwicklung der Lösung. Dieses System deterministischer gewöhnlicher Differentialgleichungen kann mittels Runge-Kutta-Verfahren gelöst werden. Die Konvergenz- und Stabilitätseigenschaften der stochastischen Galerkin-Methode in Verbindung mit Runge-Kutta-Methoden werden untersucht. Auf den theoretischen Ergebnissen basierend wird ein Algorithmus zur Lösung zufallsabhängiger gewöhnlicher Differentialgleichungen vorgestellt. Dieser verwendet einen neuen Fehlerschätzer, der den bekannten deterministischen Fehlerschätzer für die Zeitintegration mit der adaptiven Anpassung der Elemente im Parameterraum der unsicheren Daten kombiniert. Abschließend wird der Algorithmus anhand numerischer Ergebnisse zahlreicher Beispiele validiert.    «

In der vorliegenden Arbeit wird die numerische Lösung von zufallsabhängigen gewöhnlichen Differentialgleichungen untersucht. Es werden Methoden basierend auf verallgemeinerten Wiener-Entwicklungen vorgestellt. Eine dieser Methoden ist das stochastische Galerkin-Verfahren in Zusammenhang mit dem Multi-Element-Ansatz von Wan und Karniadakis. Sie überführt die zufallsabhängige Differentialgleichung in ein System von deterministischen Differentialgleichungen für die Koeffizienten der verallgemeinert...    »