In the Nobel prize winning approach by Black and Scholes volatility is supposed to be a constant. This assumption contradicts reality, where volatility implied by options' prices depends on both strike and maturity. This thesis extends the Black-Scholes framework to the theory of local volatility, introduced by Derman and Dupire. They allow volatility to be a deterministic function of the asset price and time. We also derive the core equation of this theory, Dupire's formula. In addition, several characteristics of local volatility are presented. For implementation purposes, implied trees are the model of choice as they extract local volatility consistently with observed market data. This thesis considers three approaches of this model class: the implied binomial tree by Derman and Kani, an extension of this binomial tree suggested by Barle and Cakici as well as a more flexible implied trinomial tree, introduced by Derman, Kani and Chriss. These models are derived theoretically and their characteristics are discussed. Three different market phases are defined (bullish, sideways, crash) and the presented models are compared for a representative day of each period.     «

In the Nobel prize winning approach by Black and Scholes volatility is supposed to be a constant. This assumption contradicts reality, where volatility implied by options' prices depends on both strike and maturity. This thesis extends the Black-Scholes framework to the theory of local volatility, introduced by Derman and Dupire. They allow volatility to be a deterministic function of the asset price and time. We also derive the core equation of this theory, Dupire's formula. In addition, severa...     »

Im Nobelpreis-gekrönten Modell von Black und Scholes wird Volatilität als ein konstanter Parameter definiert. Diese Annahme widerspricht der Realität, in der Volatilität, impliziert durch Preise am Markt gehandelter Optionen, sowohl von deren Ausübungspreis als auch von deren Laufzeit abhängt. Diese Arbeit erweitert die Rahmenbedingungen des Black-Scholes Modells und stellt die Theorie der lokalen Volatilität vor, die von Derman und Dupire entwickelt wurde. Hierbei wird Volatilität als deterministische Funktion modelliert, die vom zugrunde liegenden Basiswert und vom Zeitpunkt abhängt. Außerdem wird die zentrale Gleichung dieser Theorie hergeleitet: Dupires Formel. Des Weiteren werden verschiedene Eigenschaften lokaler Volatilität präsentiert. Um dieses Modell zu implementieren, werden in dieser Arbeit sogenannte Implied Trees verwendet, die lokale Volatilität aus am Markt gehandelten Optionspreisen extrahieren. Dabei werden drei Ansätze betrachtet: der Implied Binomial Tree von Derman und Kani, eine Erweiterung dieses Binomialbaums von Barle und Cakici sowie ein flexibler Implied Trinomial Tree von Derman, Kani und Chriss. Diese Modelle werden theoretisch hergeleitet, sowie mögliche Eigenschaften diskutiert. Für je einen repräsentativen Tag dreier unterschiedlicher Marktphasen (aufwärts, seitwärts und abwärts) werden die Modelle verglichen.     «

Im Nobelpreis-gekrönten Modell von Black und Scholes wird Volatilität als ein konstanter Parameter definiert. Diese Annahme widerspricht der Realität, in der Volatilität, impliziert durch Preise am Markt gehandelter Optionen, sowohl von deren Ausübungspreis als auch von deren Laufzeit abhängt. Diese Arbeit erweitert die Rahmenbedingungen des Black-Scholes Modells und stellt die Theorie der lokalen Volatilität vor, die von Derman und Dupire entwickelt wurde. Hierbei wird Volatilität als determini...     »