Die Bestimmung von Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen externen Ratingklassen hat große Bedeutung im Risikomanagement einer Bank. Die vorliegende Bachelorarbeit behandelt Fragestellungen bezüglich der Modellierung von Ratingmigrationen mit besonderem Fokus auf Ausfallswahrscheinlichkeiten. Für die Modellierung wird der beliebte Ansatz von zeitstetigen Markovprozessen gewählt. Hierbei spielen sogenannte Generatoren Q eine wichtige Rolle. Übergangsmatrizen über einem Zeitintervall [0, t] sind zum Beispiel sind durch e^(Q t) gegeben. Die Einträge dieser Übergangsmatrizen enthalten dabei die Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen den Ratingklassen. Da Ratingagenturen zumeist nur einjährige Migrationsmatrizen zur Verfügung stellen, muss man diese zuerst in einen zeitstetigen Prozess einbetten. Das heißt, dass man einen Generator Q sucht, wofür e^(Q 1) die ursprüngliche einjährige Beobachtung liefert. Leider ist die exakte Einbettung meistens nicht möglich. In diesen Fällen möchte man durch das Auffinden eines Generators Q und der daraus resultierenden Übergangsmatrix e^(Q 1) einen möglichst ähnlichen zeitstetigen Prozess kalibrieren. Als eine der neuen Resultate dieser Arbeit wird die Kalibrierung basierend auf einer quadratischen Optimierung mit linearen Nebenbedingungen für den zugrunde liegenden Generator vorgeschlagen. Als Vorteil bietet diese Methode die Möglichkeit, durch zusätzliche Nebenbedingungen einen ”monotonen” Generator zu erhalten und dementsprechend einen ”monotonen” Markovprozess zu kalibrieren. Diese Monotonieeigenschaften bedeuten zum Beispiel, dass die Übergangsraten in den Ausfall für Unternehmen mit besserem Rating geringer sind. Weiteres wichtiges Resultat der Arbeit ist der Vorschlag einer neuen Methode zur Untersuchung von signifikanten Unterschieden zwischen einzelnen Migrationsmatrizen. So kann zum Beispiel untersucht werden, ob es signifikante Unterschiede zwischen der urprünglichen Migrationsmatrix und der durch die Optimierung kalibrierte Übergangsmatrix gibt. Während der Arbeit werden auch zahlreiche andere Probleme angesprochen und zudem die zugehörige Literatur aufgearbeitet. Zuätzlich bietet eine Fallstudie nützliche Beispiele und die Implementierung in R ermöglicht die Anwendung auf beliebige andere Datensätze.     «

Die Bestimmung von Übergangswahrscheinlichkeiten zwischen externen Ratingklassen hat große Bedeutung im Risikomanagement einer Bank. Die vorliegende Bachelorarbeit behandelt Fragestellungen bezüglich der Modellierung von Ratingmigrationen mit besonderem Fokus auf Ausfallswahrscheinlichkeiten. Für die Modellierung wird der beliebte Ansatz von zeitstetigen Markovprozessen gewählt. Hierbei spielen sogenannte Generatoren Q eine wichtige Rolle. Übergangsmatrizen über einem Zeitintervall [0, t] sind z...     »

The estimation of transition probabilities between external rating classes is of vital importance in a bank’s risk management. The following Bachelor’s Thesis presents a wide range of questions arising during the modeling of these rating migrations while focusing on probabilities of transitions into the default state. We choose the commonly used framework of continuous-time Markov chains for the modeling, where so-called generators denoted by Q play an important role. Transition matrices over the time horizon [0, t] are given by e^(Q t) The entries of these transition matrices give the probabilities of migrating from one rating class to another one within the considered time period. As rating agencies usually provide one-year migration matrices, these have to be embedded into the continuous-time framework first. This means that one has to find a valid generator Q for which e^(Q 1) equals the original one-year transition matrix. Unfortunately, this is usually not possible. Therefore, one tries to calibrate a sufficiently similar continuous-time process by finding a valid generator Q for which e^(Q 1) gives approximately the original observed migration matrix. As the major new result of this thesis we propose to calibrate a continuous-time process by solving a quadratic optimization problem with linear constraints for the underlying generator. As an advantage of the optimization, by setting additional constraints one can even enforce to receive a ”monotonous” generator and, hence, receive a calibrated ”monotonous” Markov process. This monotonicity ensures for example that transition rates to the default state are smaller for better-rated obligors. As another main result of this thesis a new testing procedure is proposed that allows to investigate, if differences between two migration matrices, for example the original one and through the optimization calibrated one, are significant. While developing these new ideas, many other arising problems are considered and an overview about the corresponding literature is provided. In addition, a case study provides illustrations while the implementation of the existing and new proposals in R allows the reader to try out the proposals on new datasets.     «

The estimation of transition probabilities between external rating classes is of vital importance in a bank’s risk management. The following Bachelor’s Thesis presents a wide range of questions arising during the modeling of these rating migrations while focusing on probabilities of transitions into the default state. We choose the commonly used framework of continuous-time Markov chains for the modeling, where so-called generators denoted by Q play an important role. Transition matrices over th...     »