Auf Grund ihrer hervorragenden Approximationseigenschaften bieten sich Funktionenräume über dünnen Gittern zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen im Rahmen der Finite-Elemente-Methode (FEM) an. Seit einem Jahrzehnt werden sie erfolgreich eingesetzt, wobei polynomiale Basisfunktionen und lokale Gitterverfeinerungen als die wichtigsten Erweiterungen des Konzepts zu nennen sind. Allerdings ergeben sich für Differentialoperatoren mit variablen Koeffizienten und nicht-rechteckige Gebiete algorithmische Schwierigkeiten. In der vorliegenden Arbeit wird ein Ansatz vorgestellt, der diese Schwierigkeiten durch eine Modifikation der Steifigkeitsmatrix umgeht. Die Konsistenz des Verfahrens wird gezeigt. Die Stabilität wird auf eine grundlegende Eigenschaft bestimmter gitterabhängiger Operatoren zurückgeführt, die durch numerische Experimente bestätigt wird. Mehrere numerische Beispiele zeigen, dass das Verfahren die Approximationseigenschaften dünner Gitter besitzt. Abschließend wird ein Multilevel-Präkonditionierer vorgestellt, der im Gegensatz zu denen aus früheren Arbeiten symmetrisch in Test- und Ansatzraum ist. Er sorgte in den numerischen Beispielen zusammen mit der BiCGstab-Methode für gute Konvergenzraten.     «

Auf Grund ihrer hervorragenden Approximationseigenschaften bieten sich Funktionenräume über dünnen Gittern zur numerischen Lösung von partiellen Differentialgleichungen im Rahmen der Finite-Elemente-Methode (FEM) an. Seit einem Jahrzehnt werden sie erfolgreich eingesetzt, wobei polynomiale Basisfunktionen und lokale Gitterverfeinerungen als die wichtigsten Erweiterungen des Konzepts zu nennen sind. Allerdings ergeben sich für Differentialoperatoren mit variablen Koeffizienten und nicht-rechtecki...     »

Due to their excellent approximation properties, sparse grid function spaces used within the finite element method (FEM) promise to be a very efficient technique for the numerical solution of partial differential equations. They have been used for a decade, with polynomial basis functions of arbitrary degree and locally adapted grids as major amplifications. Unfortunately, algorithmic difficulties arise when differential operators with variable coefficients or non-rectangular domains shall be treated. In this dissertation a simple approach is presented that circumvents the algorithmic difficulties by a simple modification of the stiffness matrix. The consisteny of the resulting method is shown. The stability is put down to a more fundamental property of certain grid dependent operators that can be certified by numerical tests. Several numerical examples show that the method provides excellent approximation properties as expected for the sparse grid spaces. Finally, a multilevel preconditioner is presented, that is contrary to earlier works symmetric in test and trial space. It provided good convergence rates in the numerical tests when used with the BiCGstab method.     «

Due to their excellent approximation properties, sparse grid function spaces used within the finite element method (FEM) promise to be a very efficient technique for the numerical solution of partial differential equations. They have been used for a decade, with polynomial basis functions of arbitrary degree and locally adapted grids as major amplifications. Unfortunately, algorithmic difficulties arise when differential operators with variable coefficients or non-rectangular domains shall be tr...     »