The graphical continuous Lyapunov model is a new approach to statistically model dependence structures that may include feedback loops in multivariate data. The covariance matrices of the distributions in such a model are parametrized as solutions of the continuous Lyapunov equation via suitable drift and volatility matrices that stem from a multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. It was recently shown that two variables are independent in the Lyapunov model if the corresponding nodes in the graph are not connected by a trek. We conjecture that the opposite implication also holds, meaning that if two nodes are connected by a trek in the graph, then the corresponding variables cannot be conditionally independent in the Lyapunov model. In this thesis, we start the investigation of the conjecture by considering the Lyapunov model of a directed path of arbitrary length. We prove that no conditional independence statements that involve at most 100 conditioning variables between the two considered nodes hold in the path model. We further devise a way to extend any counterexample for the statement where the first and last node of the path are conditionally independent given all intermediate nodes to counterexamples for statements on any longer path. Additionally, we illustrate the challenges of working with singular covariance matrices that arise on the way to a full proof of the conjecture for the path model.      «

The graphical continuous Lyapunov model is a new approach to statistically model dependence structures that may include feedback loops in multivariate data. The covariance matrices of the distributions in such a model are parametrized as solutions of the continuous Lyapunov equation via suitable drift and volatility matrices that stem from a multivariate Ornstein-Uhlenbeck process. It was recently shown that two variables are independent in the Lyapunov model if the corresponding nodes in the gr...     »

Das graphische stetige Lyapunov-Modell ist ein neuer Ansatz zur statistischen Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Daten, wobei die Strukturen Rück-kopplungsschleifen enthalten können. Die Kovarianzmatrizen der Verteilungen in einem solchen Modell werden als Lösungen der stetigen Lyapunov-Gleichung über geeignete Drift- und Volatilitätsmatrizen parametrisiert, die aus einem multivariaten Ornstein-Uhlenbeck-Prozess stammen. Es wurde kürzlich gezeigt, dass zwei Variablen im Lyapunov-Modell unabhängig sind, wenn die entsprechenden Knoten im Graphen nicht durch einen Treck verbunden sind. Wir vermuten, dass auch die umgekehrte Implikation gilt, d.h. wenn zwei Knoten durch einen Treck im Graphen verbunden sind, können die entsprechenden Variablen im Lyapunov-Modell nicht bedingt unabhängig sein. In dieser Arbeit beginnen wir die Untersuchung der Hypothese mit der Betrachtung des Lyapunov-Modells eines gerichteten Pfades beliebiger Länge. Wir beweisen, dass im Pfadmodell keine bedingten Unabhängigkeiten gelten, die höchstens 100 konditionierende Variablen zwischen den beiden betrachteten Knoten beinhalten. Darüber hinaus entwickeln wir eine Methode, um jedes Gegenbeispiel für die Aussage, dass der erste und letzte Knoten des Pfades bedingt unabhängig gegeben alle Zwischenknoten sind, zu Gegenbeispielen für solche Aussagen auf jedem längeren Pfad zu erweitern. Zusätzlich illustrieren wir die Herausforderungen im Umgang mit singulären Kovarianzmatrizen, die auf dem Weg zu einem vollständigen Beweis der Vermutung für das Pfadmodell auftreten.      «

Das graphische stetige Lyapunov-Modell ist ein neuer Ansatz zur statistischen Modellierung von Abhängigkeitsstrukturen in multivariaten Daten, wobei die Strukturen Rück-kopplungsschleifen enthalten können. Die Kovarianzmatrizen der Verteilungen in einem solchen Modell werden als Lösungen der stetigen Lyapunov-Gleichung über geeignete Drift- und Volatilitätsmatrizen parametrisiert, die aus einem multivariaten Ornstein-Uhlenbeck-Prozess stammen. Es wurde kürzlich gezeigt, dass zwei Variablen im Ly...     »