Deep hedging and market generation are two promising techniques, relying on Machine Learning, to hedge derivatives and construct financial time series respectively, without making assumptions on the underlying stochastic dynamics of the price processes. In this way, they contribute to model-free finance. We introduce the mathematical foundations of these techniques, by first passing through rough paths theory and defining signatures, which allow to efficiently compress paths and will run like a thread through this master’s thesis. We present a metric to distinguish between two, potentially multidimensional, stochastic processes and make use of signatures to refine this metric, so that it also takes into account the filtration of the processes. We also show how model uncertainty affects the performance of a hedge portfolio of an option, by providing a theorem so powerful that it was named the Fundamental Theorem of Derivatives Trading. Using the previous results, we finish off by deriving new approaches to price path-dependent options, again without assuming the price process to be given by a certain model. In particular, they can be applied to options on underlying with high-dimensional or non-Markov price processes without difficulty.      «

Deep hedging and market generation are two promising techniques, relying on Machine Learning, to hedge derivatives and construct financial time series respectively, without making assumptions on the underlying stochastic dynamics of the price processes. In this way, they contribute to model-free finance. We introduce the mathematical foundations of these techniques, by first passing through rough paths theory and defining signatures, which allow to efficiently compress paths and will run like a...     »

Zusammenfassung Deep hedging und market generation sind zwei vielversprechende Verfahren zum Absichern von Derivaten, beziehungsweise zum Generieren von Finanzzeitreihen, die auf maschinellem Lernen beruhen und ohne Annahmen über die zugrunde liegenden stochastischen Dynamiken der Preisprozesse auskommen. In diesem Sinne tragen beide zu modellfreier Finanzmathematik bei. Wir stellen die mathematischen Grundlagen dieser Ansätze vor, indem wir uns zuerst das Konzept rauer Pfade anschauen und dann signatures definieren, welche es ermöglichen Pfade effizient zu komprimieren und sich wie ein roter Faden durch diese Masterarbeit ziehen werden. Wir präsentieren eine Metrik um zwischen zwei, möglicherweise multidimensionalen, stochastischen Prozessen zu unterscheiden und benutzen signatures um diese Metrik noch weiter zu verfeinern, damit sie auch die Filtrierung der Prozesse berücksichtigt. Wir zeigen auch, wie Modellunsicherheit die Leistung eines Absicherungsportfolio einer Option beeinflusst, indem wir einen Satz vorstellen, der so einflussreich ist, dass er Der fundamentale Satz des Derivatehandelns benannt wurde. Abschließend leiten wir, anhand unserer vorherigen Ergebnisse, neue Ansätze zur Preisermittlung von pfadabhängigen Optionen her. Erneut machen wir keine Annahme, dass der Preisprozess aus einem bestimmten Modell entspringt. Insbesondere können die Ansätze auf Optionen angewendet werden, die Basiswerte mit Preisprozessen haben, welche hochdimensional, oder keine Markov-Prozesse, sind.      «

Zusammenfassung Deep hedging und market generation sind zwei vielversprechende Verfahren zum Absichern von Derivaten, beziehungsweise zum Generieren von Finanzzeitreihen, die auf maschinellem Lernen beruhen und ohne Annahmen über die zugrunde liegenden stochastischen Dynamiken der Preisprozesse auskommen. In diesem Sinne tragen beide zu modellfreier Finanzmathematik bei. Wir stellen die mathematischen Grundlagen dieser Ansätze vor, indem wir uns zuerst das Konzept rauer Pfade anschauen und dan...     »