In this thesis, we want to apply the method of Chebyshev interpolation to the computation of implied volatilities from option prices in the Black-Scholes model. At first, different existing inversion formulas and algorithms will be discussed to find a reference method for the computation at the interpolation points. A bivariate normalized Black-Scholes formula will be analyzed in particularly with respect to its limit behaviour. Based on the results, the domain of the implied volatility function will be split into four different areas, which will be approximated separately by bivariate Chebyshev interpolations. To increase the rate of convergence, different scalings of the function will be proposed that exploit the limit behaviour of the function. In the end, the resulting approximations will be compared to other methods in terms of the resulting error and the run time for large data sets of input parameters. The implementations in MATLAB are done with the aid of the chebfun-package which offers the possibility to compute bivariate Chebyshev interpolations and represent low rank approximations of bivariate functions by matrix-based chebfun2 objects.      «

In this thesis, we want to apply the method of Chebyshev interpolation to the computation of implied volatilities from option prices in the Black-Scholes model. At first, different existing inversion formulas and algorithms will be discussed to find a reference method for the computation at the interpolation points. A bivariate normalized Black-Scholes formula will be analyzed in particularly with respect to its limit behaviour. Based on the results, the domain of the implied volatility function...     »

In dieser Arbeit wird die Anwendung der Chebyshev Interpolation auf die Berechnung impliziter Volatilitäten im Black-Scholes Modell behandelt. Zunächst wird ein Überblick über die wichtigsten bestehenden Ansätze zur Berechnung gegeben, um eine Methode zur Berechnung der Volatilitäten an den Interpolationspunkten zu bestimmen. Anschließend wird eine bivariate, normalisierte Black-Scholes-Formel in Hinblick auf das Grenz- verhalten analysiert. Auf diesen Ergebnissen aufbauend wird die Definitionsmenge der Input-Parameter in vier Teile gespalten, die jeweils separat interpoliert werden. Um die Konvergenzraten zu erhöhen, werden verschiedene Skalierungen vorgeschlagen, die das Grenzverhalten der Funktion berücksichtigen. Schließlich werden die erhaltene Interpolation mit anderen Berechnungsmethoden in Hinblick auf Approximationsfehler sowie Berechnungszeiten für verschiedene Input-Parameter verglichen. Die Implementation wird in MATLAB durchgeführt mithilfe des chebfun-Pakets, durch das bivariate Chebyshev Interpolationen berechnet werden können und Approximationen niedrigen Ranges von bivariaten Funktionen durch chebfun2-Objekte basierend auf Matrizen dargestellt werden können.      «

In dieser Arbeit wird die Anwendung der Chebyshev Interpolation auf die Berechnung impliziter Volatilitäten im Black-Scholes Modell behandelt. Zunächst wird ein Überblick über die wichtigsten bestehenden Ansätze zur Berechnung gegeben, um eine Methode zur Berechnung der Volatilitäten an den Interpolationspunkten zu bestimmen. Anschließend wird eine bivariate, normalisierte Black-Scholes-Formel in Hinblick auf das Grenz- verhalten analysiert. Auf diesen Ergebnissen aufbauend wird die Definitionsm...     »