In der Finanzmathematik sind wir interessiert daran den Preis von Derivaten, insbesondere von Optionen zu bestimmen. Zur Bestimmung des Preises wurden quantitative Modelle wie das weit verbreitete Black-Scholes Modell entwickelt. Eine Erweiterungen davon ist das Constant Elasticity of Variance (CEV) Modell. Die Kalibrierung solcher quantitativen Modelle anhand von echten Marktdaten zur Identifizierung der Modellparameter ist von großem Interesse bei der Optionspreisbewertung. Der Rechenaufwand ist dabei ein sehr wichtiger Faktor, da die Kalibrierung ein inverses Problem ist. Bei der Kalibrierung muss die Optionspreisbewertung für eine Vielzahl an Parametern durchgeführt werden. Deswegen sind wir interessiert an effektiven und zuverlässigen numerischen Methoden zur Optionspreisbewertung im CEV Modell. Um dies zu erreichen führen wir eine Reduzierte-Basis Methode für die lineare parabolische partielle Differentialgleichung (PDE) des CEV Modells ein. Die Hauptbestandteile der Reduzierten-Basis Methode sind die folgenden: zuerst wird in einem offline Schritt eine schnell konvergierende Reduzierte-Basis Approximation mittels einer Galerkin-Projektion in einen Raum $\WN$ sehr kleiner Dimension $N$ konstruiert, der aufgespannt wird von Lösungen der betrachteten PDE für $N$ ausgewählte Parameter. Zweitens wird in einem effizienten online Berechnungsschritt für einen gegebenen neuen Parameter die Reduzierte-Basis Approximation mit sehr geringem Rechenaufwand berechnet. Daher ist die Reduzierte-Basis-Methode sehr gut geeignet für die effiziente und zuverlässige Berechnung von parameterabhängigen Problemen mit sehr vielen Anfragen oder Echtzeitanforderung. Somit passt die Reduzierte-Basis Methode perfekt zur hier betrachteten Aufgabe der parameterabhängigen Kalibrierung des CEV Modells. Wir stellen die analytische Formulierung sowie die numerischen Ergebnisse für die Anwendung der Reduzierten-Basis Methode auf das Problem der CEV Optionspreisbewertung vor. In unserem Fall wäre es ausreichend die Reduzierte-Basis Methode für affin parameterabhängige Probleme zu betrachten, da es für den nichtaffinen Term des CEV Modells eine geschlossene Form existiert. Jedoch erweitern wir die hier betrachte Reduzierte-Basis Methode auf nichtaffine parameterabhängige Probleme, da wir beabsichtigen in Zukunft komplexere finanzmathematische Modelle zu verwenden, die nichtaffine Terme vorweisen. Dazu führen wir die Empirical Interpolation Methode ein, die uns eine affine Approximation des nichtaffinen Terms liefert. Schließlich präsentieren wir numerische Ergebnisse für die Anwendung der Reduzierten-Basis Methode auf ein nichtaffines Problem der CEV Optionspreisbewertung.     «

In der Finanzmathematik sind wir interessiert daran den Preis von Derivaten, insbesondere von Optionen zu bestimmen. Zur Bestimmung des Preises wurden quantitative Modelle wie das weit verbreitete Black-Scholes Modell entwickelt. Eine Erweiterungen davon ist das Constant Elasticity of Variance (CEV) Modell. Die Kalibrierung solcher quantitativen Modelle anhand von echten Marktdaten zur Identifizierung der Modellparameter ist von großem Interesse bei der Optionspreisbewertung. Der Rechenaufwand i...     »

In mathematical finance we are interested in pricing derivative contracts, especially option contracts. Therefore quantitative models like the famous Black-Scholes model or extensions like the constant elasticity of variance (CEV) model were developed. The calibration of these quantitative models to real market data for identifying the model parameter is of great interest in the area of option pricing. The computational cost is a very crucial factor herein because calibration is an inverse problem, hence, for a wide range of parameters the option price has to be evaluated. So we are interested in efficient and reliable numerical methods for the pricing of options in the CEV model. To this aim we present a reduced-basis method for the linear parabolic CEV option pricing partial differential equation (PDE). The essential ingredients of the reduced-basis method are the following: first, in a offline stage a rapidly convergent reduced-basis approximation is constructed through a Galerkin projection onto a space $\WN$ of very small dimension $N$ spanned by solutions of the concerning PDE at $N$ selected parameter-time samples. Secondly, a efficient online computational procedure is required, where for a given new parameter value the reduced-basis approximation is calculated at very low computational cost. The reduced-basis method is thus ideally suited for efficient and reliable evaluation of parametrized problems in the many-query or real-time contexts, i.e. perfectly fitting to our concerning task of calibration for parameter identification within the CEV model. We present the analytical formulation and numerical results for the application of the reduced-basis method for the CEV option pricing problem. Even if it suffices to consider the reduced-basis method for affine parameter dependent problems in our case, we also extend our presented reduced-basis method to nonaffine problem, since we are aiming to use more complex financial models in the future where nonaffine terms will occur. To this end, we introduce the empirical interpolation method for getting an affine approximation of the nonaffine term. Finally, we provide numerical results for the application of the reduced-basis method to the nonaffine CEV option pricing problem.     «

In mathematical finance we are interested in pricing derivative contracts, especially option contracts. Therefore quantitative models like the famous Black-Scholes model or extensions like the constant elasticity of variance (CEV) model were developed. The calibration of these quantitative models to real market data for identifying the model parameter is of great interest in the area of option pricing. The computational cost is a very crucial factor herein because calibration is an inverse probl...     »