Eines der Hauptziele der Finanzmathematik ist das Modellieren des realen Verhaltens des Finanzmarkts und das korrekte Bepreisen von Derivaten. Im Falle eines vollständigen Marktes ist es allgemein bekannt, dass Derivatspreise mit Hilfe des eindeutigen Martingalmaßes berechnet werden können. In einem unvollständigen Markt ist das Bepreisen etwas komplizierter, da nun unendlich viele Martingalmaße existieren und nicht mehr nur ein Eindeutiges. In dieser Arbeit modellieren wir den Finanzmarkt durch ein exponentielles Levymodel, d.h. der diskontierte Preisprozess einer Risikoanlage ist durch einen exponentiellen Levyprozess gegeben. Aus Einfachheitsgründen beschränken wir uns auf den eindimensionalen Fall mit nur einer Risikoanlage. Weiter nehmen wir an, dass der Markt unvollständig ist und als Folge davon unendlich viele Martingalemaße existieren. Im Verlauf dieser Arbeit besprechen wir fünf verschiedene äquivalente Martingalmaße: Die Esscher-Martingaltransformationen sowohl für exponentielle Levyprozesse, als auch für lineare Levyprozesse. Erste Resultate hierzu sind in [GS94b] gegeben, wobei die Unterscheidung der beiden Typen von Esscher-Martingaltransformationen und die zugehörige Nomenklatur in [KS02] eingeführt wurde. Zudem präsentieren wir das minimale Entropiemartingalmaß (MEMM), für das [FM03] als Hauptreferenz genannt werden kann, das minimale Martingalmaß ([Sch94]) und das varianzoptimale Martingalmaß ([Sch96]). Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Einfluss der Maße auf das Verhalten des Levyprozesses zu vergleichen. Eine interessante Teilmenge der äquivalenten Martingalmaße ist in diesem Kontext die Menge der strukturerhaltenden äquivalenten Martingalmaße. Alle für diese Arbeit ausgewählten Martingalmaße sind daher strukturerhaltend. Paarweise wurden die verschiedenen Maße bereits verglichen. Diese Arbeit vereint alle Resultate zu einem Gesamtvergleich. Hierzu erweitern wir die Ergebnisse in [HS05], worin die Esscher-Martingaltransformationen mit dem MEMM verglichen werden, um Ergebnisse aus [Ara01], wodurch das minimale Martingalmaß eingebunden wird, und um Ergebnisse aus [Sch94], welche das varianzoptimale Martingalmaß einbeziehen. Darüberhinaus werden wir Aussagen über die Gleichheit für einige Maße in einem verallgemeinerten Fall treffen. Zuletzt simulieren wir in einem numerischen Beispiel einen exponentiellen normal-inversen-Gaussprozess, um eine europäische Calloption unter den verschiedenen Martingalmaßen zu bepreisen. Hierzu modellieren wir die Parameter der Verteilung unter Verwendung realer Aktienkurse und vergleichen die numerisch berechneten Optionspreise mit den Preisen auf dem echten Markt.
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Eines der Hauptziele der Finanzmathematik ist das Modellieren des realen Verhaltens des Finanzmarkts und das korrekte Bepreisen von Derivaten. Im Falle eines vollständigen Marktes ist es allgemein bekannt, dass Derivatspreise mit Hilfe des eindeutigen Martingalmaßes berechnet werden können. In einem unvollständigen Markt ist das Bepreisen etwas komplizierter, da nun unendlich viele Martingalmaße existieren und nicht mehr nur ein Eindeutiges. In dieser Arbeit modellieren wir den Finanzmarkt durch...
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