In this thesis, we apply Lévy copulas to describe the dependence structure of multivariate Lévy processes and build some Lévy copula-based models. Parameter estimation of the models is the main part of this work. The estimation procedure is based on maximum likelihood principles. For compound Poisson processes (CPP) which have finite Lévy measure, we decompose the mass on the axes and outside of the axes. This decomposition for a bivariate CPP generates three independent components and shows either the jumps only in one component, or the bivariate jumps in both components. The likelihood function can be derived based on these independent parts. We also suggest a new simulation algorithm for a bivariate CPP. We apply our method to model Danish fire insurance data and estimate the parameters of the model. The extension of the method for Lévy Processes with infinite Lévy measure is discussed in the second part. More precisely we take a bivariate stable Lévy Process and truncate all the small jumps. We base the statistical analysis on the resulting CPP. The Fisher information matrix is also calculated and the asymptotic normality of the estimators is proved as the number of jumps tends to infinity. In this model this may happen either for the observation period going to infinity, or the truncation point going to 0 for a fixed observation period. A simulation study investigates the loss of efficiency because of the truncation. Finally, a new estimation procedure is introduced in the last chapter. The main idea of this approach, which we call two-step method, is similar to IFM (inference functions for margins) for multivariate distribution functions. First, the parameters of the marginal processes are estimated. Then, given the estimates from the first step, we estimate in a second step only the dependence structure parameters. This method is applied to a bivariate α-stable Clayton subordinator with different or common marginal parameters. For the latter, the Godambe information matrix and asymptotic covariance matrix are analytically calculated. Moreover, the asymptotic normality of the estimators is proved as the time span goes to infinity or the truncation point goes to zero. A simulation study compares the quality of all three estimation methods: the two-step estimates, the MLEs of a full model and the MLEs based on joint jumps only.      «

In this thesis, we apply Lévy copulas to describe the dependence structure of multivariate Lévy processes and build some Lévy copula-based models. Parameter estimation of the models is the main part of this work. The estimation procedure is based on maximum likelihood principles. For compound Poisson processes (CPP) which have finite Lévy measure, we decompose the mass on the axes and outside of the axes. This decomposition for a bivariate CPP generates three independent components and show...     »

In dieser Arbeit benutzen wir Lévy-Copulas, um die Abhängigkeitsstruktur multivariater Lévy-Prozesse zu beschreiben und konstruieren mehrere Modelle, die auf Lévy-Copulas basieren. Die Parameterschätzung dieser Modelle ist der Hauptteil dieser Arbeit. Das Schätzverfahren basiert auf dem Maximum-Likelihood-Prinzip. Für zusammengesetzte Poisson-Prozesse, die endliches Lévymaß haben, zerlegen wir die Träger der Maße in den Teil auf den Achsen und den Teil außerhalb der Achsen. Für einen bivariaten zusammengesetzten Poisson-Prozess erzeugt diese Zerlegung drei unabhängige Komponenten; zwei zeigen nur die Sprünge in einer Komponente, der dritte Teil betrachtet die bivariaten Sprünge in beiden Komponenten. Die Likelihood-Funktion kann mit Hilfe dieser unabhängigen Teile hergeleitet werden. Wir stellen überdies einen neuen Simulationsalgorithmus für einen bivariaten zusammengesetzten Poisson-Prozess vor. Wir wenden unsere Methode an, um Schadendaten einer dänischen Feuerversicherungen zu modellieren und die Parameter zu schätzen. Die Erweiterung dieser Methode für Lévy-Prozesse mit unendlichem Lévymaß wird im zweiten Teil dieser Arbeit diskutiert. Genauer gesagt betrachten wir einen bivariaten stabilen Lévy-Prozess und schneiden alle kleinen Sprünge ab. Die statistische Analyse basiert nun auf dem daraus hervorgegangenen zusammengesetzten Poisson-Prozess. Die Fisher-Informationsmatrix wird ebenfalls analytisch berechnet und die asymptotische Normalität der Schätzer bewiesen, wenn die Anzahl der Sprünge gegen unendlich strebt. In diesem Modell kann dies geschehen entweder, wenn die Beobachtungsperiode unendlich groß wird, oder wenn der Stutzungspunkt der kleinen Sprünge gegen 0 geht. Eine Simulationsstudie untersucht den Effizienzverlust durch das Abschneiden der kleine Sprünge. Schließlich wird im letzten Kapitel ein neue Schätzmethode eingeführt. Die Hauptidee dieses Ansatzes, der zwei-Schritt-Methode, ist ähnlich zur IFM (inference functions for margins) für multivariate Verteilungsfunktionen. Wir schätzen die Parameter der Randprozesse zunächst getrennt. Gegeben die Schätzwerte aus dem ersten Schritt, transformieren wir die Randprozesse und schätzen im zweiten Schritt die Parameter der Abhängigkeitsstruktur. Die Godambe-Informationsmatrix wird ebenfalls analytisch berechnet und die asymptotische Normalität der Schätzer bewiesen, wenn die Anzahl der Sprünge gegen unendlich strebt. Eine Simulationsstudie vergleicht die Effizienz der vorgestellten drei Methoden.      «

In dieser Arbeit benutzen wir Lévy-Copulas, um die Abhängigkeitsstruktur multivariater Lévy-Prozesse zu beschreiben und konstruieren mehrere Modelle, die auf Lévy-Copulas basieren. Die Parameterschätzung dieser Modelle ist der Hauptteil dieser Arbeit. Das Schätzverfahren basiert auf dem Maximum-Likelihood-Prinzip. Für zusammengesetzte Poisson-Prozesse, die endliches Lévymaß haben, zerlegen wir die Träger der Maße in den Teil auf den Achsen und den Teil außerhalb der Achsen. Für einen bivariat...     »