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- Document type:
- Bachelorarbeit
- Author(s):
- Sandner, Jonas
- Title:
- Darstellung linearer Operatoren mittels unendlicher Matrizen
- Translated title:
- Representation of Linear Operators by Infinite Matrices
- Abstract:
- In der vorliegenden Arbeit untersuchen wir unendliche Matrizen, die lineare Operatoren in unendlichdimensionalen Räumen charakterisieren. Dabei betrachten wir insbesondere den Hilbertraum ℓ2(ℕ) der quadratsummierbaren Folgen (reeller oder) komplexer Zahlen. Das Kernziel ist herauszufinden, unter welchen Bedingungen an die Einträge einer unendlichen Matrix M der durch diese repräsentierte lineare Operator wohldefiniert ist. Anders formuliert fragen wir uns, wann das Matrix-Vektor-Produkt Mx einer unendlichen Matrix M und einer Folge x ∈ ℓ2(ℕ), die wir als Vektor mit unendlich vielen Zeilen auffassen, wieder eine quadratsummierbare Folge ist. Darüber hinaus wollen wir die Stetigkeit solcher Operatoren untersuchen. Eine allgemeine Aussage kann man darüber nicht treffen, man kann allerdings eine Reihe von Beispielen finden. Dafür erinnern wir zunächst an einige mathematische Grundlagen, etwa aus der Hilbertraumtheorie. Abschließend übertragen wir ausgewählte Ergebnisse auf den Hardy-Raum auf der offenen Einheitskreisscheibe H2(𝔻), der isometrisch isomorph zum Folgenraum ℓ2(ℕ0) ist.
- Translated abstract:
- In this paper we study infinite matrices which characterise linear operators in infinite-dimensional spaces. In particular, we focus on the Hilbert space ℓ2(ℕ) of square-summable sequences of (real or) complex numbers. The main goal is to figure out under which conditions on the entries of an infinite matrix M the linear operator represented by the latter is well-defined. In other words, we wonder at which point the matrix-vector product Mx of an infinite matrix M and a sequence x ∈ ℓ2(ℕ), which we take to be a vector with infinitely many rows, is again a square-summable sequence. Furthermore, we want to investigate the continuity of such operators. We cannot make a general statement about this, but we can find a number of examples. In order to do this, we first recall some mathematical basics, for example from Hilbert space theory. Afterwards we transfer selected results to the Hardy space on the open unit circle H2(𝔻), which is isometrically isomorphic to the sequence space ℓ2(ℕ0).
- Keywords:
- Folgenraum, unendliche Matrix, Hilbertraum, linearer Operator
- Subject:
- MAT Mathematik
- DDC:
- 510 Mathematik
- Advisor:
- Hofmaier, Frank (Dr.)
- Referee:
- Hofmaier, Frank (Dr.)
- Date of acceptation:
- 09.08.2023
- Year:
- 2023
- Pages:
- 65
- Language:
- de
- Language from translation:
- en
- University:
- Technische Universität München
- Faculty:
- TUM School of Social Sciences and Technology
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