Eines der Hauptziele der Finanzmathematik ist das Modellieren des realen Verhaltens des Finanzmarkts und das korrekte Bepreisen von Derivaten. Im Falle eines vollständigen Marktes ist es allgemein bekannt, dass Derivatspreise mit Hilfe des eindeutigen Martingalmaßes berechnet werden können. In einem unvollständigen Markt ist das Bepreisen etwas komplizierter, da nun unendlich viele Martingalmaße existieren und nicht mehr nur ein Eindeutiges. In dieser Arbeit modellieren wir den Finanzmarkt durch ein exponentielles Levymodel, d.h. der diskontierte Preisprozess einer Risikoanlage ist durch einen exponentiellen Levyprozess gegeben. Aus Einfachheitsgründen beschränken wir uns auf den eindimensionalen Fall mit nur einer Risikoanlage. Weiter nehmen wir an, dass der Markt unvollständig ist und als Folge davon unendlich viele Martingalemaße existieren. Im Verlauf dieser Arbeit besprechen wir fünf verschiedene äquivalente Martingalmaße: Die Esscher-Martingaltransformationen sowohl für exponentielle Levyprozesse, als auch für lineare Levyprozesse. Erste Resultate hierzu sind in [GS94b] gegeben, wobei die Unterscheidung der beiden Typen von Esscher-Martingaltransformationen und die zugehörige Nomenklatur in [KS02] eingeführt wurde. Zudem präsentieren wir das minimale Entropiemartingalmaß (MEMM), für das [FM03] als Hauptreferenz genannt werden kann, das minimale Martingalmaß ([Sch94]) und das varianzoptimale Martingalmaß ([Sch96]). Das Ziel dieser Arbeit ist es, den Einfluss der Maße auf das Verhalten des Levyprozesses zu vergleichen. Eine interessante Teilmenge der äquivalenten Martingalmaße ist in diesem Kontext die Menge der strukturerhaltenden äquivalenten Martingalmaße. Alle für diese Arbeit ausgewählten Martingalmaße sind daher strukturerhaltend. Paarweise wurden die verschiedenen Maße bereits verglichen. Diese Arbeit vereint alle Resultate zu einem Gesamtvergleich. Hierzu erweitern wir die Ergebnisse in [HS05], worin die Esscher-Martingaltransformationen mit dem MEMM verglichen werden, um Ergebnisse aus [Ara01], wodurch das minimale Martingalmaß eingebunden wird, und um Ergebnisse aus [Sch94], welche das varianzoptimale Martingalmaß einbeziehen. Darüberhinaus werden wir Aussagen über die Gleichheit für einige Maße in einem verallgemeinerten Fall treffen. Zuletzt simulieren wir in einem numerischen Beispiel einen exponentiellen normal-inversen-Gaussprozess, um eine europäische Calloption unter den verschiedenen Martingalmaßen zu bepreisen. Hierzu modellieren wir die Parameter der Verteilung unter Verwendung realer Aktienkurse und vergleichen die numerisch berechneten Optionspreise mit den Preisen auf dem echten Markt.     «

Eines der Hauptziele der Finanzmathematik ist das Modellieren des realen Verhaltens des Finanzmarkts und das korrekte Bepreisen von Derivaten. Im Falle eines vollständigen Marktes ist es allgemein bekannt, dass Derivatspreise mit Hilfe des eindeutigen Martingalmaßes berechnet werden können. In einem unvollständigen Markt ist das Bepreisen etwas komplizierter, da nun unendlich viele Martingalmaße existieren und nicht mehr nur ein Eindeutiges. In dieser Arbeit modellieren wir den Finanzmarkt durch...     »

One of the main goals in financial mathematics is to model the real behaviour of the financial market and to price derivatives. It is well known that in a complete market the price of a derivative can be calculated by means of the unique martingale measure. In the case of an incomplete market, pricing is more complicated, since not only a unique, but infinitely many martingale measures exist. In this thesis we model the financial market by an exponential Levy model, i.e. the discounted price process of a risky asset is modeled by an exponential Levy process. For the sake of simplicity, we restrict to the one-dimensional case with one risky asset. Further we assume the market to be incomplete and hence, infinitely many martingale measures exist. We discuss five different equivalent martingale measures in this thesis. First of all we present the Esscher martingale transforms for exponential Levy processes and for linear Levy processes, respectively. First results about Esscher transforms are given in [GS94b] and the differentiation between the two types of the Esscher martingale transform and the nomenclature is introduced in [KS02]. In addtion we present the minimal entropy martingale measure (MEMM) ([FM03]), the minimal martingale measure ([Sch94]), and the variance-optimal martingale measure ([Sch96]). The aim of this thesis is to compare their impact on the behaviour of the Levy process under the change of measure. In this context, an important subset of equivalent martingale measures are the structure preserving martingale measures. All presented martingale measures in this thesis are structure preserving. Pairwise comparisons of all mentioned measures are already done. This thesis brings the results together to one overall comparison. Hereby we combine the results in [HS05], where the comparison of both Esscher martingale transforms and the MEMM is performed, with results in [Ara01] to include the minimal martingale measure and with results in [Sch94] to include the variance-optimal martingale measure. Further, statements about the similarity of some of the measures in a rather general case will be given. At last we do a numerical example simulating an exponential normal-inverse-Gaussian process to price an European call option under the different martingale measures. Here we use real stock prices to model the distribution parameters and compare the numerically calculated prices with the prices in the real market.     «

One of the main goals in financial mathematics is to model the real behaviour of the financial market and to price derivatives. It is well known that in a complete market the price of a derivative can be calculated by means of the unique martingale measure. In the case of an incomplete market, pricing is more complicated, since not only a unique, but infinitely many martingale measures exist. In this thesis we model the financial market by an exponential Levy model, i.e. the discounted price pro...     »