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- Document type:
- Masterarbeit
- Author(s):
- Gaß, Maximilian
- Title:
- Laplace inversion pricing methodologies for portfolio default models
- Abstract:
- This thesis applies the Laplace inversion method of (Kiesel & Lutz 2011) to the Laplace transform of stochastic processes of a certain kind. We consider stochastic processes from the Bondesson class first mentioned in (Bondesson 1981) that are additionally time-changed by an integrated Cox-Ingersoll-Ross process, see (Cox et al. 1985). This combination defines a set of processes that are equipped with sophisticated dynamics and a flexible behavior. Instead of their density function, however, only its Laplace transform is known. By Laplace inversion methods, an expression for that density can be reconstructed. We argue for the inversion approach we decided for and prove that its application is mathematically valid. By introducing the Lévy-Frailty-Combined portfolio default model of (Mai et al. 2011) and deriving its density, we demonstrate the practical value of our theoretical results. Furthermore, the same inversion method is applied to the Shot-Noise model of (Scherer et al. 2012) showing both the wide scope of the inversion ansatz and the importance of the right parameter choice in this case. The thesis closes with the evaluation of the two well-known risk measures Value-at- Risk and Expected-Shortfall for the Lévy-Frailty-Combined model and the Vasicek model of (Vasicek 1977) as a comparison. We use the densities derived before and thereby show their numerical tractability.
- Translated abstract:
- In dieser Arbeit wenden wir die Laplace-Inversionsmethode von (Kiesel & Lutz 2011) auf die Laplacetransformation einer bestimmen Klasse stochastischer Prozesse an. Wir betrachten dazu Prozesse aus der Bondesson-Klasse, die erstmals in (Bondesson 1981) erwähnt wurde. Diese werden zusätzlich mit einem sogenannten Time-Change bestehend aus einem integrierten Cox-Ingersoll-Ross-Prozess versehen, siehe (Cox et al. 1985). In der Kombination ergibt sich eine Prozess-Klasse, die sich durch dynamischen Charakter und flexibles Verhalten auszeichnet. Allerdings ist statt ihrer Wahrscheinlichkeitsdichte nur deren Laplace-Transformierte bekannt. Durch Anwendung von In versionsmethoden kann ein Ausdruck für die Dichte gewonnen werden. In dieser Arbeit geben wir Argumente für unsere Wahl der Inversionsmethode und beweisen die Kor- rektheit ihrer Anwendung in diesem konkreten Fall. Das Lévy-Frailty-Combined-Modell von (Mai et al. 2011) baut auf der hier betrachteten Prozessklasse auf. Nach der Vorstellung des Modells als einem Anwendungsbeispiel für unsere Überlegungen leiten wir dessen Wahrscheinlichkeitsdichte her und belegen damit den praktischen Nutzen unserer theoretischen Ergebnisse. Desweiteren wenden wir die gleiche Inversionsmethode auf das Shot-Noise-Modell von (Scherer et al. 2012) an und zeigen damit sowohl die breite Einsatzmöglichkeit des gewählten Ansatzes als auch die Wichtigkeit der korrekten Parameterwahl bei dessen Anwendung. Abschließend werten wir die zwei bekannten Risikomaße Value-at-Risk und Expected-Shortfall für das Lévy-Frailty-Combined-Modell und das Vasicek-Modell von (Vasicek 1977) im Vergleich aus, und belegen so den einfachen numerischen Umgang mit den zuvor hergeleiteten Wahrscheinlichkeitsdichten.
- Advisor:
- Steffen Schenk
- Referee:
- Prof. Dr. Matthias Scherer
- Year:
- 2012
- Language:
- en
- University:
- Technische Universität München
- Faculty:
- Fakultät für Mathematik
- Format:
- Text
BibTeX