In den letzten Jahren ist zahlreiche Literatur erschienen, in der die Aktienrendite als Lévy-Prozesse unendlicher Aktivität modelliert werden. Die Gründe dafür sind vor allem eine angemessene Beschreibung von empirischen Besonderheiten der Aktienrendite und eine geeignete Anpassung an die implizite Volatilität, die man auf den Optionsmärkten beobachtet. Zusätzlich dazu entstehen auf Finanzmärkten in immer kürzeren Zeitabständen sehr komplexe und deshalb schwer bewertbare derivative Produkte. Diese Komplexität stellt hohe Anforderungen an die Entwicklung effizienter numerischer Verfahren, von denen Händler vor allem Schnelligkeit, Genauigkeit und Stabilität verlangen. Ziel der vorliegenden Arbeit ist die Präsentation eines numerischen Verfahrens zur Optionspreisbewertung unter anderem in Lévy-Modellen, das diese Anforderungen erfüllt. Ausgangspunkt ist der Aufsatz von Lord et a. (2007), in dem die Optionspreisbewertung für europäische, Bermuda- und amerikanische Optionen unter diesen Modellen mit der Fourier Transformationsmethode entwickelt wird. Die grundsätzliche Idee dabei ist, die risikoneutrale Preisbewertungsformel so umzuformen, dass man darin eine Faltung erkennen kann. Diese wird mit der Fast Fourier Transformation kalkuliert, dabei nutzt man die Unabhängigkeit der Zuwächse des zugrundeliegenden Aktienpreisprozesses der Option aus. Die einzige Voraussetzung für die Methode ist die Kenntnis der charakteristischen Funktionen des Underlying-Prozesses, was auch in den meisten Modellen der Fall ist. Aus den numerischen Beispielen für europäische, Bermuda- und amerikanische Optionen haben wir festgestellt, dass dieses Verfahren sehr flexibel im Bezug auf die Wahl der Auszahlungsfunktion und auf die Wahl der Option zugrundeliegenden Aktienpreisprozesses ist und die Komplexität von O(MN logN) mit N Diskretisierungspunkten in Underlying-Richtung und M Ausübungsmöglichkeiten hat. Amerikanische Optionen können mit Richardson-Extrapolation mit den Preisen von Bermuda-Optionen effizient bewertet werden.     «

In den letzten Jahren ist zahlreiche Literatur erschienen, in der die Aktienrendite als Lévy-Prozesse unendlicher Aktivität modelliert werden. Die Gründe dafür sind vor allem eine angemessene Beschreibung von empirischen Besonderheiten der Aktienrendite und eine geeignete Anpassung an die implizite Volatilität, die man auf den Optionsmärkten beobachtet. Zusätzlich dazu entstehen auf Finanzmärkten in immer kürzeren Zeitabständen sehr komplexe und deshalb schwer bewertbare derivative Produkte. Die...     »

In the past couple of years a vast body of literature has considered the modeling of asset returns as infinite Lévy processes. The latter describe empirical features of asset returns adequately, and provide a reasonable fit to the implied volatility surfaces observed in option markets. Additionally, as the models and option contracts used on the financial markets has became increasingly complex, practitioners demand efficient, fast and robust numerical methods to cope with such models. The aim of this work is a presentation of a novel Fast Fourier Transform based method by Lord et al. (2007) for pricing options with early exercise features under some Lévy models. The main idea is to reformulate the risk-neutral valuation formula and to recognize that it is a convolution. The resulting convolution is calculated numerically by using the FFT under the assumption that the asset price process has independent and stationary increments. The only requirement of the method is the knowledge of the conditional characteristic function of the underlying asset that is the case for many exponential Lévy models. We demonstrate the flexibility of our method with respect to the choice of asset price process and the type of the option contract and impressive computational speed of the convolution algorithm in numerical examples for pricing European, Bermudan, and American options. The overall complexity for an M-times exercisable Bermudan option is O(MNlogN) with N grid points used to discretize the price of the underlying asset. The American options can be priced efficiently by applying Richardson extrapolation to the price of Bermudan options.     «

In the past couple of years a vast body of literature has considered the modeling of asset returns as infinite Lévy processes. The latter describe empirical features of asset returns adequately, and provide a reasonable fit to the implied volatility surfaces observed in option markets. Additionally, as the models and option contracts used on the financial markets has became increasingly complex, practitioners demand efficient, fast and robust numerical methods to cope with such models. The aim o...     »