Ein klassisches Resultat von Erdös, Kleitmann und Rothschild zur Struktur dreiecksfreier Graphen besagt, dass solche Graphen mit hoher Wahrscheinlichkeit bipartit sind. Die Ergebnisse des ersten Hauptteils unserer Arbeit verfeinern diese Aussage und zeigen, dass die "wenigen" nicht-bipartiten dreiecksfreien Graphen mit hoher Wahrscheinlichkeit "fast" bipartit sind, d.h. bipartit bis auf wenige Knoten. Dies lässt sich verallgemeinern, indem man dreiecksfrei durch K_l+1-frei und bipartit durch l-partit ersetzt. Im zweiten Hauptteil unserer Arbeit untersuchen wir die Klasse epsilon-regulärer Graphen im Zusammenhang mit dem berühmten Regularitätslemma von Szemerédi. Für die Anwendung von Varianten des Regularitätslemmas auf dünne Zufallsgraphen fehlt ein zentrales Lemma, das von Kohayakawa, Luczak und Rödl als Vermutung formuliert wurde. Sie besagt, dass vollständige Teilgraphen K_l mit extrem hoher Wahrscheinlichkeit in hinreichend dichten epsilon-regulären Graphen auftreten. Wegen der zahlreichen möglichen Anwendungen wird der Beweis dieser Vermutung als eines der wichtigsten offenen Probleme in der Theorie zufälliger Graphen angesehen. Wir beweisen in unserer Arbeit die "kleinsten" offenen Fälle K₄ und K₅.