This thesis is devoted to the study of quantum many-body systems. This investigation is performed in the framework of Matrix Product States (MPS) and their generalization to higher dimensions, Projected Entangled Pair States (PEPS). In the first part of the work, we discuss the mathematical properties of such tensor network states in depth. In the first chapters we deal with one-dimensional systems, for which we use the connections between MPS and completely positive maps to prove several new results, such as the quantum version of the Wielandt's inequality or the construction of locally invariant states under a symmetry group. Chapters 5-7 are dedicated to higher-dimensional systems, for which we provide the conditions to construct invariant PEPS. The second part of the thesis is dedicated to applications in condensed matter. In chapter 8 we provide several methods of constructing quasi-solvable Hamiltonians with two-body interactions, while in chapter 9 we show that these tensor network states can be used as a laboratory for theoretical condensed matter in, for instance, the characterization of the string-order, the generalization of the Lieb-Schultz-Mattis theorem, the demonstration of new theorems relating entanglement to magnetisation or to long-range interactions, etc.     «

This thesis is devoted to the study of quantum many-body systems. This investigation is performed in the framework of Matrix Product States (MPS) and their generalization to higher dimensions, Projected Entangled Pair States (PEPS). In the first part of the work, we discuss the mathematical properties of such tensor network states in depth. In the first chapters we deal with one-dimensional systems, for which we use the connections between MPS and completely positive maps to prove several new re...     »

Diese Doktorarbeit ist dem Studium der Quantenvielteichentheorie gewidmet. Die dazugehörige Forschung wurde im Rahmen der „Matrix Product States“ (MPS) und deren Generalisierung in höheren Dimensionen, „Projected Entangled Pair States“ (PEPS) durchgeführt. Im ersten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns näher mit den mathematischen Eigenschaften solcher Tensornetzwerkzustände. Die ersten Kapitel behandeln eindimensionale Systeme. Dabei nutzen wir die Verbindungen zwischen MPS und Quantenkanälen um mehrere neue Ergebnisse, wie zum Beispiel die Quanten-Wielandt-Ungleichung oder die Konditionen für die Konstruktion lokal-invarianter Zustände unter einer Symmetriegruppe zu beweisen. Kapitel 5-7 sind höherdimensionalen Systemen gewidmet. Hier definieren wir die Bedingungen für die Herstellung invarianter PEPS . Im zweiten Teil der Arbeit gehen wir auf die Anwendung in kondensierter Materie ein. Das achte Kapitel zeigt mehrere Methoden quasi-lösbare Hamiltonoperatoren mit Zweikörperwechselwirkung und SU(2)-Symmetrie zu konstruieren, während wir im neunten Kapitel darlegen, dass diese Tensornetzwerkzustände als Labor für die Kondensierte-Materie-Theorie genutzt werden können: Zum Beispiel in der Charakterisierung der String-Order, der Verallgemeinerung des Lieb-Schultz-Mattis-Theorems, dem Beweis neuer Theoreme die versuchen die Quantenverschränkung mit Magnetisierung oder mit Langstreckeninteraktion in Verbindung zu setzen und vielem mehr.     «

Diese Doktorarbeit ist dem Studium der Quantenvielteichentheorie gewidmet. Die dazugehörige Forschung wurde im Rahmen der „Matrix Product States“ (MPS) und deren Generalisierung in höheren Dimensionen, „Projected Entangled Pair States“ (PEPS) durchgeführt. Im ersten Teil dieser Arbeit beschäftigen wir uns näher mit den mathematischen Eigenschaften solcher Tensornetzwerkzustände. Die ersten Kapitel behandeln eindimensionale Systeme. Dabei nutzen wir die Verbindungen zwischen MPS und Quantenkanäle...     »