Kernel-based methods and their underlying structure of reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS) are widely used in many areas of applied mathematics, such as spatial statistics, machine learning and approximation theory. In this thesis, we provide an overview over RKHS of vector-valued functions and their corresponding operator-valued kernels. We show the link between conditionally positive definite operator-valued kernels and reproducing kernel Pontryagin spaces. Further on, we provide a method to construct parameterized matrix-valued kernels. Moreover, we transfer concepts for qualitative estimates in approximation and statistical learning to the vector-valued setting. To be precise, we demonstrate how stability and error estimates from approximation theory lead to estimates of covering numbers used in statistical learning.     «

Kernel-based methods and their underlying structure of reproducing kernel Hilbert spaces (RKHS) are widely used in many areas of applied mathematics, such as spatial statistics, machine learning and approximation theory. In this thesis, we provide an overview over RKHS of vector-valued functions and their corresponding operator-valued kernels. We show the link between conditionally positive definite operator-valued kernels and reproducing kernel Pontryagin spaces. Further on, we provide a meth...     »

Kernbasierte Methoden und ihre zugrundeliegende Struktur der Reproduzierenden-Kern-Hilberträume (RKHR) spielen in vielen Gebieten der angewandten Mathematik eine wichtige Rolle, wie zum Beispiel in der räumlichen Statistik, im maschinellen Lernen oder in der Approximationstheorie. In dieser Dissertation geben wir einen Überblick über RKHR von vektorwertigen Funktionen und ihre zugehörigen operatorwertigen Kerne. Wir zeigen die Beziehung von konditional positiv definiten operatorwertigen Kernen und Pontryaginräumen. Außerdem stellen wir einen neuen Ansatz vor, parametrisierte, matrixwertige Kerne zu konstruieren. Desweiteren übertragen wir Konzepte für qualitative Abschätzungen in der Approximationstheorie und dem statistischen Lernen in den vektorwertigen Fall. Dabei führen wir aus, wie Stabilitäts- und Fehlerabschätzungen aus der Approximationstheorie zu Abschätzungen der Überdeckungszahl im statistischen Lernen führen.     «

Kernbasierte Methoden und ihre zugrundeliegende Struktur der Reproduzierenden-Kern-Hilberträume (RKHR) spielen in vielen Gebieten der angewandten Mathematik eine wichtige Rolle, wie zum Beispiel in der räumlichen Statistik, im maschinellen Lernen oder in der Approximationstheorie. In dieser Dissertation geben wir einen Überblick über RKHR von vektorwertigen Funktionen und ihre zugehörigen operatorwertigen Kerne. Wir zeigen die Beziehung von konditional positiv definiten operatorwertigen Kernen...     »