One of the classical problems in finance is that of an investor who tries to optimally allocate his given wealth. He trades in different financial assets and tries to choose an optimal investment and consumption strategy. He has to decide how to allocate his initial wealth in order to maximize his expected utility of consumption during the time interval and to maximize the expected utility of his total wealth at the end of the time horizon. We set up a general continuous-time mathematical model for a potentially incomplete financial market. There are different methods for delivering a solution for this portfolio problem. In Merton's model, the interest rate of the riskless asset is a constant and the risky asset prices fluctuate randomly according to a geometric Brownian motion. He solves the optimization problem using the so-called Hamilton Jacobi Bellman equation. An alternative approach is based on martingale theory, where the main tool is the Girsanov's change of probability measure. The optimal solution is found in two steps. The first step yields both the consumption process and terminal wealth that maximize expected utility. In a second step, the corresponding portfolio strategy is derived by means of the martingale representation theorem. If we restrict the portfolio strategy of the investor to take values in a convex subset, the market becomes incomplete. We can then introduce auxiliary markets in order to apply the same methods as in a complete market setting.     «

One of the classical problems in finance is that of an investor who tries to optimally allocate his given wealth. He trades in different financial assets and tries to choose an optimal investment and consumption strategy. He has to decide how to allocate his initial wealth in order to maximize his expected utility of consumption during the time interval and to maximize the expected utility of his total wealth at the end of the time horizon. We set up a general continuous-time mathematical model...     »

Ein klassisches Problem der Finanzmathematik ist das eines Investors, der versucht sein gegebenes Vermögen optimal aufzuteilen. Er handelt mit verschiedenen Anlagen und versucht eine optimale Investitions- und Konsumstrategie zu finden. Er muss entscheiden, wie er sein gegebenes vermögen aufteilt, um den erwarteten Nutzen seines Konsums während der Zeitperiode und den erwartenten Nutzen seines Endvermögens zu maximieren. Es wird hierzu ein stetiges Finanzmarktmodell für einen vollständigen und unvollständigen Markt aufgestellt. Es gibt verschiedene Lösungsmethoden für dieses Optimierungsproblem. In Mertons Methode ist die Zinsrate der risikolosen Anleihe konstant und die Aktienpreise fluktuieren zufällig gemäß einer geometrischen Brownschen Bewegung. Er löst das Optimierungssproblem mittels der sogenannten Hamilton-Jacobi-Bellman Gleichung. Eine alternative Methode basiert auf der Martingaltheoorie, wobei das Hauptwerkzeug ein Maßwechsel mit Hilfe des Satzes von Girsanov ist. Die optimale Lösung wird in zwei Schritten gefunden. Im ersten Schritt werden der Konsumprozess und das Endvermögen ermittelt, welche den erwarteten Nutzen maximieren. Im zweiten Schritt wird die zugehörige Portfoliostrategie mittels eines Martingal-darstellungssatzes berechnet. Wenn die Handelsstrategie des Investors eingeschränkt wird, sodass sie nur noch Werte in einer konvexen Untermenge annehmen darf, wird der Markt unvollständig. Doch durch die Einführung von Hilfsmärkten kann der Markt so vervollständigt werden, dass die gleiche Lösungsmethode wie im vollständigen Markt angewendet werden kann.     «

Ein klassisches Problem der Finanzmathematik ist das eines Investors, der versucht sein gegebenes Vermögen optimal aufzuteilen. Er handelt mit verschiedenen Anlagen und versucht eine optimale Investitions- und Konsumstrategie zu finden. Er muss entscheiden, wie er sein gegebenes vermögen aufteilt, um den erwarteten Nutzen seines Konsums während der Zeitperiode und den erwartenten Nutzen seines Endvermögens zu maximieren. Es wird hierzu ein stetiges Finanzmarktmodell für einen vollständigen und u...     »